6.1. La recerca en àlgebra a Catalunya
DOI 10.2436/15.2000.07.1
Santiago Zarzuela Armengou
La recerca en àlgebra no ha tingut cap mena de tradició a les universitats catalanes fins als anys vuitanta del segle xx. No obstant això, actualment existeixen grups, molt actius i amb un alt grau de reconeixement internacional, que fan recerca en diverses línies d’àlgebra. De manera genèrica, podríem dir que es fa recerca en àlgebra no commutativa al Departament de Matemàtiques de la Universitat Autònoma de Barcelona (dos grups) i en àlgebra commutativa al Departament d’Àlgebra i Geometria de la Universitat de Barcelona (dos grups), encara que els grups tenen membres i activitats a altres universitats, concretament a diversos departaments de la Universitat Politècnica de Catalunya. L’origen i l’evolució dels grups és relativament similar en totes dues àrees, mòdul cronologia. Hi podríem distingir quatre etapes: una primera al final dels anys setanta, quan, amb l’esforç personal d’alguns joves llicenciats, es van defensar les primeres tesis doctorals en àlgebra no commutativa (Universitat Autònoma de Barcelona) i en àlgebra commutativa (Universitat de Barcelona). La segona etapa és la dels anys vuitanta, quan nous joves llicenciats, aquests formats ja sota els plans d’estudis renovats a meitat dels anys setanta, s’interessen per aquestes àrees de recerca i defensen les seves respectives tesis doctorals. És un període que combina recerca i formació avançada, i en el qual s’estableixen els primers contactes internacionals amb altres investigadors de l’àrea, sovint matemàtics de molt prestigi. La tercera etapa, dels anys noranta, la podem qualificar d’expansió i assentament, quan, ja amb uns grups bàsicament formats, s’hi afegeixen nous investigadors i s’organitzen moltes activitats a escala nacional i internacional, amb una bona acollida per part de la comunitat internacional. Finalment, la darrera etapa, l’actual, que inclou els anys del 2000, és la de la normalitat: els grups ja estan ben establerts, tenen un ampli reconeixement i desenvolupen les activitats de recerca de manera similar a qualsevol altre lloc. Com és ben sabut, l’àlgebra és una disciplina transversal que molts investigadors en matemàtiques utilitzen en algun moment i a la qual també fan contribucions importants: teoria algebraica de nombres, topologia algebraica, equacions diferencials, computació, geometria algebraica, optimització, etcètera. Aquí només tractem aquells grups que fan la recerca en temàtiques bàsicament d’àlgebra o molt properes.
A continuació descrivim per a cadascun dels quatre grups de recerca quin ha estat el seu origen i període de formació, les seves línies de recerca centrals, algunes de les activitats científiques organitzades més destacades i les seves relacions internacionals més estables i principals. Entenem com a grups els conjunts de persones que fan recerca en una mateixa línia o línies molt properes. Sovint, això coincideix amb grups de recerca amb finançament, però no necessariament, ja que en l’evolució dels grups al llarg del temps hi pot haver hagut diversos canvis.
Àlgebra no commutativa (teoria d’anells)
La recerca en àlgebra no commutativa a les universitats catalanes s’inicia amb el treball del malauradament desaparegut Pere Menal Brufal (1951-1991). Pere Menal va defensar la seva tesi doctoral a la Universitat Autònoma de Barcelona l’any 1978. En ella estudiava el problema de la linealitat residual de certs grups nilpotents (en el qual es va interessar a partir de la seva correspondència amb Donald Passman). Poc temps després, a partir d’una primera col·laboració amb altres especialistes, va dipositar l’interès en la teoria d’anells de grup i de monoide, i finalment va estudiar de manera molt intensa la teoria d’anells regulars (von Neumann). Va publicar un total de quaranta articles de recerca en revistes internacionals, va dirigir sis tesis doctorals al Departament de Matemàtiques de la Universitat Autònoma de Barcelona, va ser editor de revistes internacionals, com per exemple Communications in Algebra (fet excepcional al nostre país en aquells moments), i va crear un grup de recerca en teoria d’anells amb un gran reconeixement nacional i internacional. Les tesis doctorals que va dirigir tractaven diferents aspectes de la teoria d’anells: rang estable d’anells regulars, anells amb involució, anells maximals de quocients d’un anell de grup, completesa i continuïtat en l’estructura d’anells regulars, anells semilocals i anells que els seus mòduls finitament generats fidels són generadors. Aquests temes encara són presents en la recerca del grup format per Pere Menal, grup que continua molt actiu amb el mateix prestigi internacional. Al llarg dels anys el grup ha tingut petites variacions en la seva composició, format majoritàriament per investigadors del Departament de Matemàtiques de la Universitat Autònoma de Barcelona, amb la incorporació d’alguns investigadors d’altres universitats, tant espanyoles com estrangeres. Les línies de recerca fonamentals del grup s’han anat ampliant amb el temps i són les següents: problemes de descomposició de mòduls en suma directa (propietats de cancel·lació, d’intercanvi, de refinament, d’unicitat, etcètera), estudi de classes particulars d’anells (regulars von Neumann, C*-àlgebres, d’intercanvi, repetitius), estudi d’anells amb propietats de finitud (anells semilocals, semiperfectes, linealment compactes, AB-5*), teoria K-estable i no estable i localització (anells de quocients i localització universal). La contribució del grup en algunes d’aquestes línies és molt notable. A manera d’exemple, en la segona edició de l’any 1991 del reconegut llibre de Kenneth R. Goodearl sobre anells regulars von Neumann, s’hi fa menció explícita de la contribució d’alguns membres del grup a l’estudi d’aquests anells. La col·laboració amb K. R. Goodearl és una de les més antigues i estables dels membres del grup, que mantenen relacions científiques amb nombrosos investigadors d’altres països. Altres col·laboradors estables del grup amb prestigi són, per exemple, Martin Mathieu o Alberto Facchini. Les activitats conjuntes del grup s’organitzen al voltant del Seminari de Teoria d’Anells, en què, a més dels membres del grup, han impartit conferències una llarga llista de professors convidats. El grup és molt actiu en l’organització d’activitats científiques d’àmbit internacional. En col·laboració amb el Centre de Recerca Matemàtica (CRM), l’any 2000 va organitzar el Curs avançat en grups quàntics algebraics; l’any 2003, el Curs avançat en anells amb identitats polinòmiques; l’any 2007, el Curs avançat en quasideterminants i localització universal, i el curs 2006-2007 va coordinar un programa intensiu sobre mètodes discrets i continus en teoria d’anells. També, amb la col·laboració de l’Institut de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona (IMUB) i el CRM, l’any 2008 va organitzar el congrés Interactions between representation theory and commutative algebra. Una activitat recent destacada i amb molta difusió ha estat l’organització, a l’estiu del 2008 i en el marc de la Universitat Internacional Menéndez Pelayo, de l’Escola Anual de Matemàtiques Lluis Santaló, sobre aspectes de les àlgebres d’operadors i aplicacions.
Àlgebra no commutativa (mètodes geomètrics en teoria de grups)
La recerca en teoria de grups a les universitats catalanes s’inicia a meitat dels anys vuitanta amb la incorporació, de manera estable, al Departament de Matemàtiques de la Universitat Autònoma de Barcelona, d’investigadors estrangers amb una llarga i reconeguda trajectòria científica. Essent la seva col·laboració amb el grup de recerca en teoria d’anells molt intensa i permanent des del final dels anys setanta, al principi dels anys noranta es va formar un petit grup de recerca diferenciat de l’anterior dedicat a la teoria de grups, amb un cert èmfasi en els mètodes geomètrics i combinatoris. Més endavant, cap al final dels anys noranta, es van afegir al grup alguns investigadors catalans que havien realitzat la formació doctoral i postdoctoral, tant a Catalunya com als Estats Units, en la mateixa línia de recerca. Així, el grup actual, inicialment nascut a la Universitat Autònoma de Barcelona, té membres tant al Departament de Matemàtiques de la mateixa universitat com als departaments de Matemàtica Aplicada III i Matemàtica Aplicada IV de la Universitat Politècnica de Catalunya. Les línies de recerca actives del grup s’han anat eixamplant amb el temps i ara mateix són les següents: teoria combinatòria de grups amb èmfasi en grups lliures, teoria geomètrica de grups amb èmfasi en grups lliures, subgrups discrets de PSL_2(C) amb èmfasi en grups lliures, problemes algorísmics de teoria combinatòria de grups, i números L2 de Betti de grups. És un grup reduït però molt actiu i amb prestigi, molt internacionalitzat en la seva recerca i les col·laboracions. Manté un seminari setmanal i participa freqüentment en l’organització d’activitats científiques tant a les universitats catalanes com a l’estranger. Des de fa uns quants anys organitza, de manera estable, el Barcelona Weekend in Group Theory. Durant el curs 2004-2005 els seus membres van coordinar al CRM el programa especial sobre teoria geomètrica de grups, amb diversos cursos avançats i tallers (workshops), com ara la Barcelona Conference on Geometric Group Theory o el curs avançat sobre la geometria del problema de la paraula per a grups finitament presentats. També van organitzar, l’any 2006, el congrés Geometric and asymptotic group theory with applications (GAGTA), el primer d’una sèrie de congressos anuals amb el mateix nom que tenen lloc a diferents països (el proper a Montreal l’any 2010).
Àlgebra commutativa
La recerca en àlgebra commutativa a les universitats catalanes té els orígens en els anys setanta, al Departament d’Àlgebra i Fonaments de la Universitat de Barcelona, quan, en part sota la influència dels ensenyaments de Juan Sancho Guimerà, fins aleshores professor de geometria a la mateixa universitat, alguns joves llicenciats van organitzar una sèrie de seminaris per estudiar amb detall diversos temes essencialment relacionats amb el contingut algebraic dels EGA. L’any 1978 es va defensar la primera tesi que podem considerar pròpiament d’àlgebra commutativa: la temàtica central era l’estudi de la dimensió de Krull de subàlgebres (no necessariament noetherianes) d’àlgebres finitament generades sobre un domini noetherià. Posteriorment, entre els cursos 1980-1981 i 1982-1983, es van desenvolupar al mateix departament una nova sèrie de seminaris al voltant de les anomenades conjectures homològiques de l’àlgebra commutativa, tema destacat que centrava, en aquell moment, bona part de la recerca dels millors especialistes internacionals en àlgebra commutativa. La influència de les activitats d’aquest seminari va ser fonamental per a perfilar el futur de la recerca en aquest camp a les universitats catalanes. Amb una participació molt àmplia, es van estudiar, una per una i amb tot detall, les diferents conjectures. Es va editar una col·lecció de notes molt ben redactades sobre els diversos temes tractats, i alguns visitants estrangers de primer ordre van ser convidats per primera vegada a impartir conferències al seminari. Al llarg dels anys vuitanta, es van defensar diverses tesis a la Universitat de Barcelona amb temàtica relacionada amb el seminari, com ara els complexos de Koszul o els grans mòduls de Cohen-Macaulay. També es va defensar alguna tesi que, tot i que la temàtica era de geometria algebraica (existència de l’esquema de Hilbert de certs tipus gèrmens de corba), incorporava molts resultats d’àlgebra commutativa relacionats, per exemple, amb funcions de Hilbert. Així, a poc a poc, es va anar creant una massa crítica suficient per a organitzar, a partir dels anys noranta, un seminari estable al voltant del qual es va organitzar la formació i la recerca del grup d’àlgebra commutativa. Els temes sobre els quals s’ha fet recerca des de llavors han estat molt diversos i la major part d’ells encara són vius: nombre de generadors d’ideals i mòduls sobre àlgebres afins, estudi de diversos tipus d’ideals com ara els de tipus lineal o els d’intersecció completa, homologia d’André-Quillen, potències simbòliques d’ideals, propietats aritmètiques de les àlgebres d’explosió (àlgebres de Rees, anell graduat associat, con de la fibra), estudi i caracterització de funcions i polinomis de Hillbert, cohomologia local i D-mòduls, mètodes en característica positiva, etcètera. Tots ells són temes que han tingut i tenen una gran actualitat en l’àlgebra commutativa, amb importants aplicacions en altres àrees com ara la geometria algebraica o la teoria de nombres. Al llarg dels anys han estat convidats i han donat xerrades en el seminari gairebé tots els especialistes internacionals en àlgebra commutativa. El reconeixement del grup es podria datar en el moment d’organitzar, a l’estiu del 1996, la Summer School on Commutative Algebra al CRM, que va reunir un gran nombre de participants i va tenir com a conferenciants principals sis dels investigadors més importants en àlgebra commutativa del moment. Val a dir que les actes de l’escola van ser editades per Birkhäuser el 1998 i reeditades l’any 2009 a la sèrie Modern Birkhäuser Classics. La composició del grup ha tingut les altes i les baixes naturals al llarg dels anys, encara que amb una gran estabilitat. Els seus membres són investigadors del Departament d’Àlgebra i Geometria de la Universitat de Barcelona i del Departament de Matemàtica Aplicada I de la Universitat Politècnica de Catalunya. Les activitats del seminari sovint s’inclouen dins del Seminari de Geometria Algebraica UB-UPC, de periodicitat setmanal, i l’any 2006 el grup també va organitzar a l’IMUB la Winter School on Commutative Algebra and Applications. Des de ja fa un cert temps, el grup també s’ha interessat pels aspectes computacionals de l’àlgebra commutativa i la geometria algebraica, i s’hi han incorporat alguns joves especialistes en aquesta àrea. Així, amb la col·laboració d’altres investigadors d’àlgebra i geometria computacionals de la Universitat Politècnica de Catalunya, es va organitzar a Barcelona el congrés EACA 2000 (Encuentros de Álgebra Computacional y Aplicaciones), sèrie de congressos anuals que reuneix tots els investigadors espanyols en aquesta àrea de recerca, i més recentment el MEGA 2009 (Effective Methods in Algebraic Geometry), el congrés internacional més important en aquest camp, de celebració bianual. Les relacions internacionals del grup són molt àmplies i diverses, però potser s’hauria de destacar la que existeix des del final dels anys vuitanta amb el grup de la Università degli Studi di Genova, encapçalat per Giuseppe Valla, relació molt estable i viva que ha donat lloc a nombroses publicacions i projectes de recerca en comú.
Geometria algebraica (fibrats algebraics i els seus espais de mòduli)
La frontera entre la geometria algebraica i l’àlgebra commutativa és molt difosa i, sovint, hi ha investigadors difícils d’ubicar en un dels camps, o millor dit, es poden ubicar en tots dos simultàniament. És el cas dels investigadors a les universitats catalanes en les línies de recerca de fibrats algebraics i els seus espais de mòduli. Durant molts anys, aquests investigadors han compartit projectes i interessos amb el grup d’àlgebra commutativa (com per exemple l’organització, a l’estiu del 1996, de la Summer School on Commutative Algebra al CRM, ja comentada) i, de fet, la seva recerca es pot catalogar sovint com d’àlgebra commutativa. Aquesta línia de recerca va nàixer, a meitat dels anys vuitanta, amb una tesi defensada al Departament d’Àlgebra i Geometria que estudiava els feixos reflexius sobre espais projectius. Poc abans, l’any 1983, alguns investigadors en geometria algebraica de la Universitat de Barcelona havien organitzat el congrés Week of algebraic geometry, amb una llista de conferenciants molt important i de primera línia a escala internacional. Robin Hartshorne era un d’ells i va establir un primer contacte amb els investigadors locals interessats en la teoria de fibrats algebraics. Aquesta relació inicial va esdevenir estable al llarg dels anys, amb una confluència important d’interessos científics. La línia de recerca central del grup ha estat l’estudi de fibrats sobre varietats algebraiques i els seus espais de mòduli, àrea en la qual els membres del grup tenen un reconeixement internacional destacat, però també han tractat amb molt d’èxit i reconeixement similar altres línies de recerca, com ara la classificació de corbes algebraiques (esquema de Hilbert, aritmèticament Cohen-Macaulay i Buchsbaum), la teoria geomètrica de liaison (intersecció completa i Gorenstein), o les resolucions lliures de famílies d’ideals (ideals determinantals). En el cas de la teoria geomètrica de liaison, la contribució és particularment important, tant per l’actualitat del tema com per l’origen de la teoria, una de les poques contribucions dels anys cinquanta per part d’un matemàtic espanyol reconegudes internacionalment (Federico Gaeta Maruelo, 1923-2007, que va ser professor al Departament d’Àlgebra i Fonaments de la Universitat de Barcelona al principi dels anys vuitanta). La composició del grup ha anat variant amb el temps, amb un nucli central d’investigadors al Departament d’Àlgebra i Geometria de la Universitat de Barcelona, mentre que alguns dels seus membres han esdevingut finalment professors al Departament de Matemàtica Aplicada I de la Universitat Politècnica de Catalunya. Aquests darrers, conjuntament amb investigadors del mateix departament provinents d’altres grups de recerca en geometria algebraica, han iniciat recentment noves línies de caire més aplicat, com ara l’estadística algebraica per a biologia computacional. En els últims anys, s’han incorporat al grup nous membres d’universitats estrangeres, concretament portugueses. El grup té una forta internacionalització en la seva recerca, amb col·laboradors estables com Jan O. Kleppe o Juan C. Migliore, i participa activament en l’organització de nombroses activitats, tant en l’àmbit internacional com local, com ara el Seminari de Geometria Algebraica UB-UPC, de periodicitat setmanal. A manera d’exemple, podem citar que l’any 2009 alguns membres del grup van ser els responsables d’un curs sobre fibrats vectorials, a la prestigiosa escola de formació Pragmatic, que se celebra a Sicília cada any. El grup també ha estat sempre molt involucrat en projectes globals de geometria algebraica en l’àmbit europeu, concretament en els successius projectes EUROPROJ i EAGER, i ha participat, en diverses ocasions, tant en l’organització dels seus congressos anuals com en activitats de formació per a joves, com ara els GAEL (Géométrie Algebrique en Liberté).
