6.3. La recerca en equacions en derivades parcials a Catalunya
DOI 10.2436/15.2000.07.3
José Antonio Carrillo de la Plata
L’àrea de recerca anomenada equacions en derivades parcials (EDP) es dedica a estudiar i analitzar el comportament i les propietats de funcions solucions d’identitats que involucren la funció buscada i les seves derivades i/o integrals. Aquesta àrea pot ser contemplada des de punts de vista molt diversos, ja que sorgeix històricament per la necessitat de descriure rigorosament fenòmens i problemes provinents del món real, de la matemàtica mateixa i de la ciència en general. N’hi ha prou esmentant alguns exemples: fenòmens físics, com la propagació d’ones i la conducció de la calor, la mecànica de fluids i gasos i, més en general, la mecànica de medis continus; problemes d’enginyeria, com els de l’elasticitat de materials o el transport de partícules carregades en materials semiconductors; models en biologia i medicina, com la coagulació de la sang, la dinàmica de poblacions estructurades o l’anàlisi d’imatges biomèdiques; problemes relacionats amb la geometria diferencial, com el flux de Ricci; problemes relacionats amb models probabilístics, com els processos estocàstics brownians i de Levy, etcètera. Les equacions en derivades parcials es poden considerar una àrea interdisciplinària no solament per les seves relacions amb altres àrees de la ciència, sinó també per les tècniques matemàtiques involucrades, que inclouen des de l’anàlisi funcional aplicada fins a la modelització matemàtica, passant per l’anàlisi numèrica de les EDP i la seva resolució numèrica, que implica l’anàlisi i selecció de mètodes adients.
De fet, citant un dels grans matemàtics aplicats francesos del segle xx, J. L. Lions, cultivar l’estudi de les EDP no es pot considerar complet sense tractar-lo des d’una perspectiva global: modelització i anàlisi dels fenòmens a descriure, anàlisi funcional i numèrica, selecció de mètodes, implementació i simulació. Tot plegat, és un dels exemples històrics i actuals més reconeguts de matemàtica aplicada dins la matemàtica en general. Aquesta diversitat de les EDP potser els confereix un aspecte d’àrea difusa dintre de les matemàtiques; de fet, es pot afirmar que no existeix ni existirà mai una teoria general de les EDP. Precisament, la seva flexibilitat i la diversitat de fenòmens descrits fa que les preguntes sobre les solucions que tenen siguin molt concretes i, per tant, moltes vegades necessitades d’idees enginyoses i molt particulars a l’EDP estudiada.
Per donar una idea de l’abast i importància internacional de l’àrea, podem destacar algunes dades estadístiques: de les 87.563 publicacions indexades a la base de dades MathSciNet de l’AMS (American Mathematical Society) l’any 2008, 5.502 publicacions eren de l’àrea 35, corresponent a l’anàlisi d’EDP; 1.745, de l’àrea de l’anàlisi numèrica d’EDP (65M-65N); 1.568, de l’àrea de mecànica de sòlids deformables (74), i 2.577, de mecànica de fluids (76), per citar alguns apartats relacionats en part o directament amb les EDP, sense parlar de les publicacions de càlcul científic relacionat. Si utilitzem la base de dades europea Zentralblatt für Mathematik, obtenim 6.834 publicacions a l’àrea 35 i 1.640 a les àrees 65M-65N, d’un total de 89.140 publicacions indexades l’any 2008. Altres àrees en les quals les EDP són centrals i que no he comptat són les d’electromagnetisme (78), termodinàmica clàssica (80), mecànica quàntica (81), mecànica estadística (82), biologia (92) i teoria de control (93). En resum, podem dir que les EDP i les àrees relacionades representen al voltant del 10 % de les publicacions totals en matemàtiques, essent una mica modestos.
Comencem ara parlant del desenvolupament d’aquesta línia de recerca a Catalunya. Es pot dir que el primer grup de recerca en anàlisi aplicada d’EDP va néixer quan l’actual president de la Societat Catalana de Matemàtiques, Carles Perelló, va arribar a la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB), al començament dels anys setanta. Va ser el germen d’un grup que, amb els anys, es va dispersar per la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) i la Universitat de Girona (UdG). De fet, es pot afirmar que aquest grup va ser durant molts anys l’únic grup en anàlisi d’EDP a Catalunya. El grup d’anàlisi aplicada d’EDP va créixer fa set anys amb la incorporació de dos investigadors de la Institució Catalana de Recerca i Estudis Avançats (ICREA). A més, les línies de recerca es van expandir i inclouen, ara, problemes en anàlisi numèrica i aplicacions. Actualment, el grup està format per uns vint-i-cinc investigadors i la seva recerca es concentra en equacions de reacció-difusió, problemes geomètrics, dinàmica d’ones, mecànica quàntica, problemes industrials, equacions cinètiques, dinàmica de poblacions, mecànica de fluids i problemes en biologia matemàtica. En la línia d’equacions de reacció-difusió, una de las qüestions fonamentals és l’estabilitat dels patrons que hi sorgeixen i la interacció que tenen amb la teoria de superfícies mínimes. Dins la dinàmica d’ones podem destacar els problemes d’amortiment en moltes aplicacions en enginyeria. Les equacions cinètiques troben les seves aplicacions en sistemes formats de moltes «partícules», com el transport d’electrons en materials semiconductors, el moviment de cèl·lules per quimiotaxi o les molècules d’un gas. Les equacions de difusió no lineal apareixen com a aproximació d’aquestes. Les qüestions de comportament a temps llarg i d’estabilitat són també importants en aquest camp. L’estudi d’equacions de diferents fenòmens en el camp de la dinàmica de poblacions, l’evolució d’espècies, la propagació de malalties infeccioses i la neurociència computacional són algunes de les línies més importants d’estudi en biologia matemàtica.
La mecànica de medis continus té i es manté, des dels anys noranta, amb un grup de recerca a l’Escola Tècnica Superior d’Enginyeries Industrial i Aeronàutica de Terrassa de la UPC. Aquest grup es dedica a l’estudi de sistemes termomecànics, en què l’estudi dels mecanismes de dissipació que porten el sistema al seu equilibri és una de les qüestions més importants, juntament amb l’anàlisi de la conducció de la calor no clàssica.
L’àrea d’anàlisi aplicada d’EDP disposa també d’un grup, al Departament de Tecnologia de la Universitat Pompeu Fabra (UPF), molt reconegut internacionalment, dedicat a equacions de difusió no lineals amb aplicacions, principalment, en l’anàlisi d’imatges. Més concretament, dedicat a models variacionals en restauració d’imatges basats en regularització per variació total, en què l’anàlisi i la seva implementació numèrica són les eines fonamentals. També part del grup es dedica al processament d’imatges per a aplicacions a la postproducció en cinema i televisió digitals.
L’àrea de l’anàlisi numèrica d’EDP amb aplicacions en enginyeria i mecànica es va desenvolupar, primerament, als departaments de matemàtiques aplicades de les escoles d’enginyeria, com el Laboratori de Càlcul Numèric de la UPC; dins d’alguns departaments d’enginyeria, com el de Resistència de Materials i Estructures a l’Enginyeria, i al Centre Internacional de Mètodes Numèrics per a l’Enginyeria (CIMNE). D’una banda, el Grup de Laboratori de Càlcul Numèric és un grup de recerca consolidat des de la primera convocatòria de Suport a Grups de Recerca (SGR) i un del seus components ha obtingut una Starting Grant del Consell Europeu de Recerca (European Research Council). De l’altra, el grup d’estructures i medis continus té un contacte molt directe de consultoria i transferiment de recerca mitjançant el CIMNE. Malgrat aquests grups importants a la UPC, és notable que aquesta part de l’àrea sigui pràcticament inexistent encara dintre dels altres departaments de matemàtiques (la Universitat de Barcelona ―UB―, la UdG, la Universitat de Lleida ―UdL―, la URV ―Universitat Rovira i Virgili― i un grup molt petit a la UAB), i produeixi un efecte molt negatiu en la relació d’alguns departaments de matemàtiques de Catalunya amb les aplicacions al món real, com comentaré més extensament.
Potser és ara el moment de dir que aquesta àrea de recerca es va considerar deficitària en els departaments de matemàtiques durant els últims dos informes de la recerca matemàtica a Catalunya de l’Institut d’Estudis Catalans. Malgrat que l’esforç fet amb la incorporació de nous membres al grup ja ha donat resultat tant a la UAB, per evitar-ne la desaparició, com a la UPC, per enriquir el grup, el percentatge de la producció d’EDP en el volum total de recerca matemàtica produïda a Catalunya és encara lluny de la mitjana internacional. Molt més preocupant encara és que no hi ha ni un investigador permanent en els departaments de matemàtiques de tota la UB que treballi en alguna àrea d’EDP com a primera línia de recerca, i això es repeteix a la URV i la UdL. El percentatge d’aquests a la UAB està clarament per sota de la mitjana i, només molt recentment, s’ha contractat en el marc del Programa Ramón y Cajal el primer investigador a la UAB que fa la recerca concentrada en anàlisi numèrica d’EDP. No hi ha ni un investigador en els departaments de matemàtiques de la UdL, la UdG i la URV que facin recerca en anàlisi numèrica d’EDP i les seves aplicacions, malgrat l’important concentració d’instituts i escoles d’enginyeria. Un fet aclaridor pot ser el següent: en els primers divuit anys d’existència del Centre de Recerca Matemàtica (CRM), no hi ha hagut gairebé cap reunió científica organitzada pel CRM en aquesta àrea; en els últims sis anys s’ha organitzat un programa temàtic i diverses conferències i cursos de gran nivell en aquesta àrea. Això ens diu que hem millorat molt però encara no podem estar-ne satisfets.
Aquest panorama no vol ser negatiu, sinó realista amb un to optimista. Penso que ara és també el moment de reivindicar allò que hem assolit en els darrers anys: la consolidació d’un grup de recerca en anàlisi aplicada d’EDP a Catalunya per primera vegada en la convocatòria d’enguany (2009) dels SGR; han sorgit grups amb massa crítica a la UPC i la UPF, i s’és en el bon camí a la UAB i a la UdG; el nivell de les publicacions del conjunt de grups a Catalunya en EDP durant els últims sis anys és molt bo en la publicació de les millors revistes del món; els congressos i els cursos de recerca organitzats a Barcelona en l’àrea tenen un nivell mai imaginat fa deu anys, i les citacions i invitacions com a conferenciants a congressos rebudes pels investigadors en EDP ha arribat a un gran nivell. Endemés, en els últims sis anys el nombre i la qualitat de visites d’investigadors joves (predoctors i postdoctors) i d’investigadors reconeguts que han volgut venir a Barcelona a treballar amb membres dels grups de recerca en EDP catalans s’ha incrementat molt. Penso que no és el lloc d’enumerar tants i tan bons resultats de recerca obtinguts en els darrers anys, per això deixo que els interessats utilitzin les eines de recerca bibliogràfica que tenen al seu abast, com MathSciNet i la Web of Knowledge.
Però, malgrat tot, repeteixo que és important per a la comunitat matemàtica catalana assumir, acceptar i entendre que un departament de matemàtiques sense un bon grup de recerca en EDP i les seves aplicacions no pot competir, ni localment ni internacionalment, en l’espai de recerca europeu al qual pertanyem, ni pot donar una visió integradora, moderna i pràctica de la matemàtica aplicada en el marc de les ciències i la tecnologia com la societat actual ens demana.
Si bé, en conjunt, la comunitat matemàtica catalana ha comprès la necessitat d’omplir aquest «forat», penso que encara hi ha un camí llarg perquè la situació d’aquesta àrea en tots els departaments de matemàtiques del país es normalitzi. Les notícies recents provinents de nous contractats al CRM en les àrees de matemàtica industrial i anàlisi numèrica d’EDP, juntament amb el contracte publicitat recentment pel CRM en aplicacions en biologia matemàtica, constaten una vegada més que l’esforç continua. Aquesta política científica, però, no tindrà l’efecte desitjat a mitjà termini si no s’assumeix, també en part, pels departaments de matemàtiques de les universitats catalanes, on la matemàtica aplicada és una àrea de coneixement en els pròxims anys. Per tant, desitjo i espero que el CRM i el conjunt de departaments de matemàtiques catalans continuïn i prenguin una bona política científica de contractes en EDP allà on es necessitin,i que es millori la dispersió d’aquesta àrea, encara deficitària, en el mapa de la matemàtica catalana.
