6.5.
La recerca en geometria a Catalunya
DOI 10.2436/15.2000.07.5
Jaume Amorós – Joan Porti
La recerca en geometria a Catalunya es divideix en dues grans subàrees, la geometria algebraica i la geometria diferencial, tot i que la recerca de diversos matemàtics se situa entre les dues, tant per la metodologia com pels temes de recerca. Els aspectes que fan referència a la geometria computacional són tractats a l’article sobre matemàtica discreta.
GEOMETRIA ALGEBRAICA
Els grups de recerca en geometria algebraica actuals a Catalunya tenen origen a la UB i la UPC als anys 70, i s'han estès a la UAB i la UDL en anys posteriors.
Aquests grups estudien un ventall de problemes representatius de la geometria algebraica contemporània: teoria de singularitats, teoria de Hodge, varietats abelianes, fibrats vectorials, geometria birracional, motius, geometria aritmètica, àlgebra commutativa computacional, topologia de varietats algebraiques i simplèctiques. També es treballa en l'aplicació d'aquestes teories a la biologia, robòtica i visió per computador. Els diferents grups tenen col·laboradors habituals a l'U.E. i als EE.UU., i esporàdics a tot el món.
Deixant de banda el treball en fibrats vectorials, cobert a l'article d'àlgebra, podem agrupar la recerca de la darrera dècada en les següents línies principals:
Singularitats de morfismes i de varietats
El grup d’investigadors en singularitats té el seu origen a la UB i es forma entorn del sòlid bagatge fruit de la recerca prèviament desenvolupada sobre geometria local de sistemes lineals, corbes polars i invariants analítics de corbes. A partir del 2000 membres de l’equip treballen a la UAB, UB i UPC, i compaginen l’estudi d’aspectes locals i globals: darrera l’estudi d’invariants jacobians, s’ha desembocat en l’estudi de gèrmens de morfismes analítics entre superfícies llises i la seva acció sobre singularitats de corba, amb aplicacions a teoria dinàmica d’intersecció; les transformacions de Cremona han esdevingut una eina clau per a estudiar divisors en superfícies racionals i abordar el problema clàssic de rectificació; l'estudi global dels sistemes lineals ha permès progressar en les conjectures de Harbourne-Hirschowitz i Nagata, resolent qüestions d'existència de corbes planes, i obtenint fites per a constants de Seshadri; en singularitats sandwiched s’ha estudiat la principalitat de corbes, la conjectura de Nash, la factorització i la classificació del tipus topològic dels ideals complets per obtenir un germen de superfície donat.
Àlgebra homotòpica i motius
Aquesta línia de treball és l'evolució de la recerca en Teoria de Hodge i topologia de varietats algebraiques, present des dels anys 70 a la UPC i després també a la UB. Els treballs clàssics d'aquest grup sobre hiperresolució cúbica de singularitats han permès en els darrers anys desenvolupar criteris d'extensió de functors definits en varietats llises a les varietats algebraiques possiblement singulars. Aquests criteris permeten estendre no només functors a valors en una categoria abeliana, com ara cohomologies, sinó també functors a valors en una classe àmplia de categories triangulades (les anomenades categories de descens). L'aplicació d'aquests criteris ha portat a l'extensió de la teoria de motius de Grothendieck dels esquemes llisos als separats de tipus finit, i el desenvolupament de l'Àlgebra Homotòpica en categories de descens a demostrar la formalitat de l'operad de cadenes singulars en els espais de moduli de Deligne-Mumford compactificats.
Varietats abelianes
En els darrers 30 anys un grup de matemàtics de la UB ha fet contribucions a l'estudi de Jacobianes, varietats de Prym i Varietats Abelianes (VA) en general. Articles publicats en els 80 han esdevingut autèntics clàssics i s'han incorporat als llibres actuals sobre la matèria. Entre les aportacions més destacades cal assenyalar la caracterització de jacobianes per l'existència de famílies infinitesimals de trisecants en la varietat de Kummer (donant peu a l'anomenada conjectura trisecant demostrada enguany per Krichever), l'estudi de les deformacions d'una VA i un divisor, la injectivitat genèrica constructiva de l'aplicació de Prym, l'estudi de la fibra de l'aplicació de Prym per certs casos especials, etc. En els darrers anys s'ha utilitzat la transformada de Fourier-Mukai per determinar propietats geomètriques de les varietats de Prym així com per provar Teoremes tipus Castelnuovo en VA i resultats sobre Theta-dualitat. També s'han fet aportacions per la teoria de cicles en VA definides sobre un cos de funcions d'una corba sobre un cos finit.
Geometria birracional, classificació i fibracions
La recerca a Catalunya relativa a la classificació (birracional i birregular) de les varietats algebraiques complexes, així com de les varietats fibrades, va començar a finals dels 80 amb la incorporació, a la Universitat de Barcelona, del professor Fernando Serrano García (1957-1996). Serrano va estudiar a la Universitat de Barcelona, va realitzar la seva tesi doctoral a Brandeis, sota la direcció de David Eisenbud, i va treballar a diverses universitats americanes abans de tornar a Catalunya. La seva recerca es va centrar principalment en l’estudi de les superfícies fibrades. Són d’especial rellevància les seves contribucions a la classificació de fibracions isotrivials. Sota la seva direcció es va formar la llavor d’un grup que en la actualitat consta d’investigadors de la Universitat de Barcelona i de la UPC, amb diversos estudiants de doctorat. Dels seus resultats recents cal destacar l’estudi de la geografia de les varietats fibrades en dimensió arbitrària via la generalització del concepte de pendent, l’estudi de propietats topològiques de les superfícies lagrangianes i la classificació, en dimensió arbitrària, de les varietats primitives de dimensió d’Albanese màxima amb aplicació bicanònica no birracional.
Geometria aritmètica
El Grup de Geometria Algebraica de Barcelona, ha realitzat diverses contribucions a la geometria aritmètica des d'un punt de vista més geomètric que les realitzades pel Grup de Teoria de Nombres. Per exemple, s'ha donat la primera comparació precisa entre els reguladors de Beilinson i de Borel, problema obert des de la introducció per Beilinson del seu regulador. També s'ha estudiat extensivament la Teoria d'Arakelov. Aquesta teoria, en la frontera entre la geometria algebraica, la teoria de nombres i l'anàlisi complexa, té com a objectiu la geometrització de l'aritmètica. En aquest camp s'han treballat tant problemes fonamentals, com la proposta de definicions més flexibles dels grups de Chow-Arakelov o l'extensió als grups de Chow superiors, així com càlculs explícits en varietats especials, com les varietats de Shimura o les varietats tòriques. La projecció internacional d'aquest treball s'ha reflectit en l'organització de l'any temàtic Arakelov Geometry and Shimura Varieties al CRM al llarg del curs 2005-2006, o l'organització del congrés internacional Regulators III a l'IMUB l'any 2010.
Geometria algebraica i àlgebra commutativa computacionals
L'estudi dels mètodes efectius en geometria algebraica i en àlgebra commutativa a Catalunya s'ha desenvolupat principalment durant els darrers 10 anys. En aquest curt període, s'ha produït un bon nombre de contribucions importants en bases de Gröbner i en els aspectes computacionals de les teories de l'eliminació i de la intersecció.
Investigadors de la UPC han estudiat bases de Gröbner de sistemes paramètrics d'equacions polinòmiques amb aplicacions a la robòtica i desenvolupat programari per a càlculs en teoria de la intersecció.
El grup d'investigació de la UB ha treballat sobre diferents temes que inclouen la localització i el càlcul de les solucions de sistemes d'equacions polinòmiques, càlcul de resultants, implicitació de corbes i de superfícies racionals, versions efectives del teorema dels zeros de Hilbert i factorització de polinomis multivariats.
S'han organitzat diversos congressos sobre el tema: EACA 2000, AGGM 2007 i finalment, MEGA 2009, un dels congressos internacionals més importants en aquest tema.
Topologia de les varietats algebraiques i simplèctiques
Aquesta línia de treball neix com una bifurcació de la de teoria de Hodge de la UPC i la UB, estudiant la topologia de les varietats kählerianes amb tècniques basades en teoria de Hodge i homotopia racional. Aquestes tècniques han permès en els darrers anys identificar propietats del grup fonamental i el tipus homotòpic d'aquestes varietats.
Tècniques emprades en l'estudi de la topologia de varietats algebraiques han tingut èxit aplicades a varietats simplèctiques. Des de la UPC s'han estudiat els pinzells de Lefschetz i la varietat dual en varietats simplèctiques.
S'han estudiat també des de la UB els espais de moduli de representacions dels grups fonamentals de corbes algebraiques en grups simplèctics, dins d'un context d'estudi de les correspondències de Narasimhan-Seshadri i Hitchin-Kobayashi en fibrats holomorfs i parells estables.
Els aspectes categòrics d'aquests problemes han portat a l'estudi dels 2-grups i 2-categories a la UPC.
Aplicacions de la geometria algebraica
Filogenètica: El Grup de Geometria Algebraica a la UPC treballa en aplicacions a la biologia computacional. Concretament a la filogenètica, que és la branca de la biologia que estudia les relacions ancestrals entre les diferents espècies. Aquestes relacions s'organitzen en arbres, que via l'estadística algebraica hom codifica com a varietats algebraiques i els seus corresponents ideals. S'han identificat els elements de l'ideal que són rellevants per a la reconstrucció filogenètica, és a dir per distingir entre els possibles arbres formats per cada grup d'espècies, en els models evolutius més comuns com ara els de Kimura.
Robòtica i visió per ordinador: Geòmetres algebraics de la UPC col·laboren amb l'Institut de Robòtica Industrial (CSIC-UPC) en l'estudi de les singularitats de l'espai de configuracions de robots com ara manipuladors paral·lels. Aquests treballs han portat al desenvolupament d'una arquitectura 'flagged' que permet l'estudi i control unificat d'una classe amplia d'aquests manipuladors. Investigadors de la UB han aplicat resultats de geometria projectiva i diferencial a l'autocalibratge de càmeres, tant projectives com genèriques.
GEOMETRIA DIFERENCIAL
La recerca en geometria diferencial que es fa a Catalunya ofereix diverses línies de recerca que comparteixen uns interessos, uns problemes i unes tècniques comuns. Per exemple, les singularitats són un dels objectes més estudiats, de fet tant en geometria diferencial com en geometria algebraica. La transversalitat d’interessos també es manifesta en les deformacions i en els espais de mòduli.
Aquesta recerca té, evidentment, fortes connexions amb altres branques de les matemàtiques. La recerca en relativitat n’és un bon exemple, però no és l’única que és a prop de la física; també s’hi situen la geometria simplèctica i la mecànica geomètrica. La relació amb la geometria algebraica també és intensa, especialment en algunes de les qüestions de geometria holomorfa, o bé de varietats simplèctiques. A l’Estat espanyol, les equacions diferencials se solen classificar en l’àrea de coneixement de matemàtica aplicada, però evidentment apareixen molt sovint en geometria diferencial. La recerca en equacions diferencials ordinàries la trobem tant en singularitats de foliacions (holomorfes, lagrangianes) com en mecànica geomètrica; i algunes de les qüestions plantejades o resoltes en aquests camps es poden considerar qüestions de dinàmica. Les equacions en derivades parcials, formant part del que s’anomena anàlisi geomètrica, les trobem en relativitat, en corbes pseudoholomorfes i en el flux de Ricci.
A continuació se'n detallen algunes de les principals línies de recerca:
Singularitats de foliacions holomorfes
L’estudi sistemàtic de les singularitats en dimensió dos ha rebut molta atenció i esforços des del final dels anys vuitanta, i s’han obtingut avenços importants en els aspectes topològics i formals (és a dir, mitjançant sèries que potser no convergeixen), però encara s’és lluny d’una classificació analítica i d’entendre la relació entre la topologia i la dinàmica de les singularitats dels camps vectorials holomorfs del pla. El grup de la UAB treballa en la recerca d’invariants topològics i analítics. També en el context de les foliacions holomorfes es treballa en la classificació i l’estudi geomètric dels webs, unes estructures geomètriques donades localment per un nombre finit de foliacions transverses.
Construccions i deformacions de varietats holomorfes
Les varietats complexes compactes estan relativament ben enteses en dimensió dos, gràcies a la classificació d’Enriques i Kodaira, i en dimensió tres en el cas algebraic, gràcies als recents avenços en l’anomenat programa de Mori. En canvi, per al cas no algebraic, que en dimensió tres o superior seria el general, se’n coneix ben poca cosa. Una de les principals dificultats aquí és la carència d’exemples explícits que puguin servir de model en el seu estudi. El grup de la UAB havia obtingut un mètode general de construcció de varietats complexes compactes a partir de sistemes dinàmics holomorfs singulars. Els investigadors de la UAB i la UPC han aconseguit una classificació de les varietats de Kähler que tenen camps vectorials holomorfs.
Corbes pseudoholomorfes i invariant de Gromov-Witten
La teoria de Gromov-Witten estudia l’espai de mòduli de corbes pseudoholomorfes en una varietat simplèctica, sota certes hipòtesis, com per exemple d’energia finita. L’espai de mòduli té dimensió finita i admet una compactificació. Aquests espais de mòduli donen els invariants de Gromov-Witten, si l’espai de mòduli té dimensió zero, i estan relacionats amb els invariants de Seiberg-Witten, per exemple. La recerca portada a terme a la UB en aquest context consisteix a canviar les hipòtesis en el context d’una varietat simplèctica que, a més a més, té una acció hamiltoniana del cercle, o bé per corbes pseudoholomorfes torçades per un fibrat, i estudiar-ne la compactificació.
Singularitats i rigidesa en geometria simplèctica
Un sistema integrable comporta una foliació, una estructura geomètrica sobre la varietat (simplèctica, b-varietat, Poisson) i també una estructura addicional associada als fulls de la foliació (lagrangiana o isòtropa). Aquests sistemes presenten singularitats que justament es corresponen a les posicions d’equilibri relatiu del sistema. Una de les qüestions en què treballen geòmetres de l'UPC i l'UB és l’equivalència local, semilocal o global de singularitats de les estructures naturals que apareixen en geometria simplèctica En el context local, l’objectiu és trobar invariants i formes normals. Pel que fa a les accions de grups, la recerca sobre rigidesai estabilitat es du a terme tant en varietats simplèctiques com en de Poisson.
Geometria en espais hiperbòlics
La geometria integral està representada pel grup de la UAB, que treballa en qüestions de comportament asimptòtic de conjunts convexos, primer en el pla hiperbòlic i després en l’espai hiperbòlic, on hi ha diferents nocions de convexitat (com la convexitat per horosferes, o per certa curvatura principal donada). A més de treballar en desigualtats isoperimètriques i en geometria integral a l'espai hiperbòlic real, s’han introduït operacions per a conjunts convexos, a l’estil de la suma de Minkowski de l’espai euclidià. També s’investiga en geometria integral per a l’espai hiperbòlic complex, on, la teoria de valoracions (mesures sobre els convexos que són finitament additives) d’Alesker ha portat un nou punt de vista a la geometria integral a l’espai afí complex.
La geometria integral conforme apareix de manera natural quan es fa geometria integral en subvarietats que no són compactes, perquè la vora ideal, o vora a l’infinit, de l’espai hiperbòlic és l’esfera conforme, i aquesta estructura conforme està molt relacionada amb el comportament a l’infinit de la geometria de l’espai hiperbòlic. L’estudi de la geometria integral a l’esfera conforme fou iniciat per Langevin i O’Hara el 2005, i actualment és un tema de recerca del grup de la UAB, amb aplicacions a energies de nusos o, fins i tot, en la conjectura de Willmore.
Relativitat
La teoria de la relativitat planteja qüestions en geometria diferencial, en concret en geometria de Riemann i de Lorentz, especialment les qüestions relatives a models cosmològics. El problema d’estabilitat de l’equació d’Einstein de la relativitat general consisteix a decidir si les solucions de l’equació d’Einstein linealitzada són realment deformacions de l’equació original. Aquest problema fou estudiat intensament en la dècada dels setanta, però amb la hipòtesi de mètrica plana i, en la major part de treballs, en absència de matèria. A la UAB s’ha atacat el problema de l’estabilitat de l’equació d’Einstein en els models cosmològics de Robertson-Walker, sense cap restricció sobre la curvatura o la matèria. Han examinat cada un dels casos, segons el tipus de geometria, pels mètodes de la teoria de deformacions i anàlisi geomètrica.
Mecànica geomètrica i altres aplicacions de la geometria diferencial
Des del punt de vista de les connexions entre la física i les matemàtiques, cal mencionar el treball del grup de la UPC en mecànica geomètrica, és a dir, l’aplicació de mètodes geomètrics a l’estudi de problemes amb origen en la física i la teoria de control. El nucli central d’aquest treball es troba en els formalismes lagrangià i hamiltonià de la mecànica, incloent-hi els sistemes dependents del temps o d’ordre superior, així com en les teories de camps, les equacions diferencials singulars i els sistemes amb lligams. En aquest treball tenen un paper destacat les tècniques de geometria simplèctica i les seves generalitzacions, les construccions amb espais de jets i les accions dels grups de Lie. Entre les aplicacions a la física, cal mencionar que també han treballat en quantització geomètrica.
Aquest grup també investiga en control òptim i en teoria de control, branca interdisciplinària entre les matemàtiques i l’enginyeria. Qüestions com ara la controlabilitat, l’observabilitat, la realimentació dinàmica, la linealització per realimentació, entre d’altres, s’han estudiat des d’una perspectiva geomètrica. En el cas del control òptim, el principi del màxim de Pontryagin i l’existència de diferents tipus de solucions s’han analitzat des d’un punt de vista geomètric, i també altres formulacions geomètriques alternatives i la possible reducció del sistema per l’acció de grups de simetria.
