6.6. La recerca en lògica a Catalunya
DOI 10.2436/15.2000.07.6
Joan Bagaria Pigrau
Segons la classificació MSC2010 de les àrees de la matemàtica, la lògica matemàtica correspon a l’àrea 03 Lògica Matemàtica i Fonaments, la qual està dividida en les vuit subàrees següents, que descrivim breument.
A. Aspectes filosòfics de la lògica i fonaments. Inclou els aspectes filosòfics de la lògica i la matemàtica, així com l’ús de la lògica en la filosofia de la ciència.
B. Lògica general. Aquesta subàrea comprèn aspectes generals tant de la lògica clàssica (lògica proposicional, lògica de primer ordre) com de les lògiques no clàssiques (lògica modal, lògica intuïcionista, lògica temporal, lògiques multivalorades, lògica borrosa, etc.). També inclou algunes aplicacions de la lògica a les ciències de la computació i a la lingüística, així com alguns temes de fonaments de la matemàtica, com la matemàtica inversa.
C. Teoria de models. La teoria de models té per objectiu principal la classificació de les teories de primer ordre mitjançant l’anàlisi dels seus models, així com l’estudi de classes de models (normalment estructures algebraiques com grups, cossos o anells, però també models de l’aritmètica o de la teoria de conjunts) mitjançant els llenguatges formals que els descriuen. Actualment l’àrea més activa és la teoria de la classificació i l’estabilitat, que té aplicacions importants a l’àlgebra i a la geometria algebraica. Entre les tècniques emprades per la teoria de models cal esmentar la bifurcació (forking), l’eliminació de quantificadors, les construccions mitjançant ultraproductes, així com les tècniques de combinatòria infinita. També pertanyen a aquesta subàrea la teoria de models dels llenguatges infinitaris, la teoria de models finits i l’estudi dels conjunts admissibles.
D. Computabilitat i teoria de la recursió. Formen part d’aquesta subàrea la teoria de les funcions recursives o computables i la teoria general d’autòmates (com les màquines de Turing). Entre els temes més importants, trobem la teoria de la complexitat i l’estudi de les jerarquies de funcions subrecursives, així com l’anàlisi de l’estructura dels conjunts recursivament enumerables i dels graus d’enumeració recursiva. També hi trobem qüestions de decidibilitat i indecidibilitat de teories, i problemes de paraules. Altres temes rellevants són la computabilitat en els ordinals i en els reals.
E. Teoria de conjunts. La teoria de conjunts, per una banda, és la teoria matemàtica de l’infinit, i per una altra banda, dóna fonament a la matemàtica, en el sentit que virtualment tota la matemàtica es pot reduir formalment a la teoria de conjunts. Dins la teoria de conjunts clàssica trobem la teoria dels nombres ordinals i cardinals transfinits, la combinatòria infinita i la teoria descriptiva de conjunts; això és, l’estudi dels conjunts definibles del continu, i en general, d’espais topològics polonesos. Actualment predominen les tècniques de construcció de models de la teoria de conjunts, com ara la constructibilitat i els models interns, i sobretot el forcing. Aquestes tècniques permeten demostrar resultats de consistència i d’independència. De gran importància, són també la teoria de grans cardinals i els axiomes de determinació, els axiomes de forcing (e.g., l’axioma de Martin) i l’absolutesa genèrica, que estudia les connexions entre les extensions de forcing de l’univers de tots els conjunts i els grans cardinals. Atès el seu caràcter fonamental, la teoria de conjunts s’aplica a gairebé totes les àrees de la matemàtica.
F. Teoria de la demostració i matemàtica constructiva. La teoria de la demostració estudia les demostracions matemàtiques formalitzades com a objectes matemàtics. Un dels objectius centrals és la demostració de la consistència relativa de sistemes lògics. Altres aspectes de la teoria de la demostració són l’estudi de la complexitat de les demostracions i de la seva estructura. S’inclou també dins d’aquesta subàrea, l’aritmètica de primer i segon ordre i els seus fragments. La matemàtica constructiva es caracteritza per acceptar l’existència d’un objecte matemàtic només quan pot ser construït. Les demostracions de pura existència no són acceptables i tampoc no ho és el principi del tercer exclòs. Entre les diverses formes de matemàtica constructiva, la més conreada és la intuïcionista.
G. Lògica algebraica. La lògica algebraica estudia els sistemes lògics (llenguatges formals amb un sistema deductiu) i els associa certes classes d’àlgebres (àlgebres de Boole, reticles, àlgebres de Heyting, àlgebres MV, àlgebres cilíndriques, etc.). D’aquesta manera, s’estableix una correspondència entre les propietats del sistema lògic i les propietats de les àlgebres associades, i l’estudi de les àlgebres permet entendre millor els sistemes lògics corresponents. La lògica algebraica clàssica estudia l’algebrització dels sistemes deductius arbitraris i la relació que mantenen amb les classes d'àlgebres que en resulten, classificant-los segons aquesta relació. Aquesta subàrea també inclou la lògica quàntica, la lògica categòrica i els topoi.
H. Models no-estàndard. Aquesta és una subàrea menor que comprèn principalment l’estudi de models no-estàndard de l’aritmètica i l’anàlisi, temes que també pertanyen a les subàrees C i F.
La lògica matemàtica a Catalunya
L’any 1933, la Societat Catalana de Ciències Físiques, Químiques i Matemàtiques, filial de l’Institut d’Estudis Catalans (IEC), publica el treball Assaigs moderns per a la fonamentació de les matemàtiques, del doctor David García (Juan David García Bacca, nascut a Pamplona el 1901 i mort a Quito el 1992, va estudiar lògica i filosofia a diverses universitats europees; va ensenyar lògica matemàtica a la Universitat Autònoma de Barcelona entre 1933 i 1937, i es va exiliar a París, on va estudiar teoria de conjunts amb Henri Lebesgue). Aquest treball exposa les noves idees de Russell, Brouwer, Hilbert i Gödel sobre la lògica i la fonamentació de la matemàtica. El 1934, l’IEC li publica el primer volum de la Introducció a la logística (el segon volum es publica l’any següent). Aquest mateix any publica el llibre Fundamentación de las matemáticas i el primer volum de Lógica matemática, amb un segon volum publicat el 1935. Finalment, el 1936, publica Introducción a la lógica moderna (Ed. Labor). Amb aquests treballs Garcia Bacca esdevé l’introductor de la lògica matemàtica a Catalunya. Malauradament, però, amb l’inici de la Guerra Civil espanyola, la lògica matemàtica desapareix del mapa universitari català i no hi torna a aparèixer fins a mitjan de la dècada dels seixanta. Cal esmentar, de totes maneres, el llibre Lógica matemática, que Josep Ferrater i Mora (Barcelona, 1912-1991) i Hughes Leblanc (1924-1999) publiquen a Mèxic l’any 1955 i que juga un paper important, si bé indirecte, en el ressorgiment de la lògica a Catalunya.
El llibre que marca l’inici d’una nova etapa en l’interès per la lògica i pels fonaments de la matemàtica a Catalunya és Introducción a la lógica y al análisis formal (Ariel, 1964) de Manuel Sacristán (Madrid, 1925 - Barcelona, 1985; va estudiar lògica matemàtica a Münster). Pel que fa als fonaments de la matemàtica, cal fer referència al llibre d’Albert Dou (Olot, 1915 - Sant Cugat del Vallès, 2009) Fundamentos de la matemática, publicat el 1970 per l’editorial Labor.
A partir del 1966, la lògica matemàtica s’estableix amb força a la Facultat de Filosofia de la Universitat de Barcelona (UB), en què es desenvolupa un petit grup de recerca a l’entorn de Jesús Mosterín, un jove filòsof nascut a Bilbao que acaba de tornar de Münster, on ha estudiat amb Hans Hermes. Els temes principals d’interès són la lògica de primer i de segon ordre, la lògica modal, la teoria de models i la teoria de conjunts, així com la filosofia i la fonamentació de la matemàtica. Aquest grup anirà creixent i començarà a tenir projecció internacional sobretot a partir de principi dels vuitanta, amb el retorn de tres membres que han realitzat estades de recerca a Berkeley i Stanford.
El 1974, Francesc d’Assís Sales Vallès (Terrassa, 1914 - Barcelona, 2005), catedràtic de la Facultat de Matemàtiques de la UB, aconsegueix introduir una assignatura de lògica al nou pla docent que imparteix el seu alumne, recentment doctorat, Nadal Batle i Nicolau (Felanitx, 1945 - Palma, 1997; format a l’Institut Henri Poincaré de París). La suma de la influència de Batle amb l’interès per la fonamentació algebraica de la probabilitat de Sales va generar un grup interessat tant en la lògica matemàtica en general com en la lògica algebraica i la lògica borrosa en particular.
L’any 1986 es crea, amb seu a la Facultat de Filosofia de la UB, el Departament de Lògica, Història i Filosofia de la Ciència (DLHFC), que inclou els lògics de les facultats de Filosofia i de Matemàtiques. Aquest departament concentrarà la major part de la recerca en lògica a Catalunya durant els vint anys següents.
Cap a principi dels vuitanta, s’inicia al Departament de Llenguatges i Sistemes Informàtics (DLSI) de la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) la recerca en complexitat computacional, a partir de l’estudi especialment de l’estructura fina de la classe dels problemes NP.
Cal dir que fins a començament dels vuitanta, totes les publicacions en lògica i fonaments de la matemàtica d’autors que treballen a Catalunya són llibres i articles de caire divulgatiu o destinats a la docència de cursos introductoris, escrits en castellà, i alguns, en català. A principi de la dècada dels vuitanta es publiquen els primers articles en anglès i en revistes internacionals en les àrees de complexitat computacional, de lògica algebraica i de lògica borrosa.
La recerca en lògica borrosa continua al llarg dels anys vuitanta a la Facultat d’Arquitectura de la UPC i també dins el Grup de Recerca en Intel·ligència Artificial del Centre d’Estudis Avançats de Blanes (CEAB-CSIC). A partir del 1994, aquest grup es trasllada al nou Institut d’Investigació en Intel·ligència Artificial (IIIA-CSIC), situat al campus de la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB). La lògica aplicada a la intel·ligència artificial també es conrea, a partir de mitjan dels noranta, al Departament d’Informàtica i Enginyeria Industrial de la Universitat de Lleida (UdL).
La lògica algebraica, d’altra banda, es desenvolupa principalment en el DLHFC de la UB, i des del 2005, també en el nou Departament de Probabilitat, Lògica i Estadística de la mateixa universitat, amb alguns investigadors a l’IIIA, a la UPC i a la Universitat Pompeu Fabra (UPF).
L’àrea de complexitat computacional va avançar ràpidament dins el DLSI cap a final dels vuitanta i va adquirir ressò internacional. El 1995, amb la incorporació d’una nova investigadora doctorada a Berkeley, s’introdueix al DLSI el tema de la complexitat de demostracions.
Les primeres publicacions internacionals en teoria de models apareixen a partir del 1986; primer, per part de dos investigadors de la UPC, un d’ells format a París; i després, per part de dos investigadors formats a Freiburg i incorporats al DLHFC el 1991. L’any següent, es constitueix el Grup de Recerca en Teoria de Models amb dos investigadors de la UPC, dos de la UB i un de la UAB.
El 1992, s’inicia al Centre de Recerca Matemàtica (CRM) i a la UAB la recerca original i amb publicacions internacionals en teoria de conjunts, que continuarà el 1995 a la UPF, i a partir del 1996, al DLHFC, dins el Grup de Teoria de Models. El 2002 es crea, amb seu al DLHFC, el Grup de Recerca en Teoria de Conjunts de Barcelona.
Per acabar, destaquem el paper importantíssim en el desenvolupament i la internacionalització de la lògica a Catalunya que van tenir les set edicions del Congrés Català de Lògica (1982-1988) i les sis edicions, organitzades amb el suport del CRM, del Barcelona Logic Meeting (1994-2000), així com el semestre Lògica algebraica i teoria de models, organitzat al CRM la primavera del 1997, i el programa de recerca Teoria de conjunts i les seves aplicacions, que va tenir lloc al CRM durant el curs acadèmic 2003-2004.
La recerca actual
Actualment, a Catalunya hi ha tres grups de recerca que treballen exclusivament en àrees de lògica i fonaments de la matemàtica i que concentren la major part de la recerca en aquest camp. Aquests tres grups són els més importants d’Espanya en les àrees respectives (indiquem, quan és el cas, la numeració de les àrees MSC2010 corresponent) i són reconeguts internacionalment.
Grup de Recerca en Lògiques no Clàssiques (http://www.mat.ub.edu/~logica/)
Grup de recerca, consolidat des del 1995, que té els orígens en el grup creat el 1975 a la Facultat de Matemàtiques de la UB. Actualment, aquest grup té onze membres: vuit a la UB, dos a l’IIIA-CSIC, un a la UPF i dos estudiants de doctorat.
Els temes de recerca són la lògica algebraica abstracta (03G27), les lògiques subestructurals (03B47), les lògiques multivalorades (03B50), els sistemes deductius abstractes (03B22), la lògica modal (03B45), les lògiques intermèdies (03B55), els reticles i les estructures relacionades (03G10), les àlgebres de Lukasiewicz i de Post (03G20) i la lògica borrosa (03B52).
Els projectes vigents finançats són Lògiques multivalorades: estudi lògic-algebraic i aplicacions a la modelització de la imprecisió (MICINN) i Lògiques no clàssiques i lògica algebraica (MICINN).
Grup de Recerca en Teoria de Models (http://www.ub.edu/modeltheory/)
El grup, creat el 1992 i amb seu al DLHFC de la UB, compta actualment amb cinc investigadors a la UB, un a la UPC i un estudiant de doctorat. La majoria dels membres pertanyen al Grup Consolidat de Lògica.
Els temes de recerca són àlgebres de Boole (03G05), cossos valorats (03C60), estabilitat generalitzada (03C45), especialment teories simples i hiperimaginaris, i teories NIP (Non Independence Property), o-minimalitat (03C64), amalgamacions de Hrushovski i grups d’automorfismes.
Projectes vigents finançats: Teoria de models (MICINN).
Grup de Recerca en Teoria de Conjunts de Barcelona (BCNSETS, http://bcnsets.ub.es/)
Creat el 2002 i amb seu al DLHFC de la UB, el Grup compta amb tres investigadors de la UB (dos són investigadors ICREA), un a la Universidad de Oviedo, un a l’ICMAT-CSIC de Madrid i cinc estudiants de doctorat. Els seus membres formen part del Grup Consolidat de Lògica.
Els temes de recerca són la filosofia de la matemàtica i la teoria de conjunts (03A05), les relacions de partició (03E02) i altres aspectes de la teoria combinatòria de conjunts (03E05), la teoria descriptiva de conjunts (03E15), els resultats de consistència i independència (03E35), la hipòtesi del continu i l’axioma de Martin (03E50), els grans cardinals (03355), l’absolutesa genèrica i els axiomes de forcing (03E57) i les aplicacions de la teoria de conjunts (03E75), sobretot en l’àlgebra, la topologia general i la teoria d’espais de Banach.
Projectes vigents finançats: Fonaments de la teoria de conjunts: perspectives matemàtiques, filosòfiques i computacionals (MICINN).
El grup lidera la xarxa europea INFTY (ESF-RNP) New Frontiers of Infinity: Mathematical, Philosophical, and Computational Prospects, http://www.inftynet.net/, que compta amb més de cent cinquanta investigadors de deu països.
Grup de Recerca en Lògica
Grup de recerca consolidat i finançat des del 2002, que consisteix essencialment en la unió dels grups de Teoria de Models i de Teoria de Conjunts.
Altres grups de recerca que compten, entre els membres, amb alguns investigadors en lògica són els següents:
Departament de Raonament i Lògica del Centre de Recerca en Intel·ligència Artificial
(IIIA-CSIC)
Creat el 1985 en el Centre d’Estudis Avançats de Blanes i traslladat el 1994 al campus de la UAB, l’IIIA ha comptat des de l’inici amb investigadors en lògica, sobretot aplicada a la intel·ligència artificial. Alguns investigadors del grup pertanyen al Grup Consolidat de Recerca en Lògiques no Clàssiques.
Els temes de recerca són principalment els fonaments matemàtics de la lògica borrosa (03B52), els models de raonament aproximat basats en la lògica borrosa i la lògica multivalorada (03B50), i la deducció automàtica en lògica multivalorada (03B35).
Projectes vigents finançats: LOCOMOTION (Logics for combining models of reasoning under imperfect information,EUROCORES FP006 project(Logical models for reasoning under vague information), MULOG 2 (Many-valued logic: foundations and applications to satisfiability, argumentation and ontologies), projecte coordinat amb investigadors de la UB, la UdL i la UPC (MICINN) i ARINF (Efficient automated reasoning systems with incomplete and imprecise information based on SAT and CSP) (MICINN).
KRAIL (Knowledge Representation for Artificial Intelligence Based on Logic)
Grup de recerca de la UAB, creat el 2008, format per professors de la UAB i investigadors de l’IIIA. KRAIL té com a principal objectiu l’estudi de formalismes lògics per a la representació del coneixement en intel·ligència artificial.
LOGOS
Grup de recerca consolidat en Filosofia Analítica, amb seu al DLHFC de la UB, que compta entre els seus membres amb un investigador en lògica filosòfica.
LOGPROG
Grup de Recerca Consolidat en Lògica en les Ciències de la Computació i en Lògica i Complexitat Computacional. Constituït el 2004, té els orígens en la Secció de Programació del DLSI de la UPC. Actualment treballa en temes de deducció automàtica i, més recentment, de SAT (algorismes pràctics per a resoldre instàncies reals i industrials del problema de la satisfactibilitat proposicional). Més concretament: reescriptura i unificació, verificació formal i SAT-solving.
ALBCOM (http://albcom.lsi.upc.edu)
El grup de recerca consolidat que treballa en Algorismes, Bioinformàtica, Complexitat i Mètodes Formals (ALBCOM) té de predecessor natural la Secció d’Informàtica Teòrica del DLSI. La recerca més propera a la lògica és en complexitat de demostracions i en teoria de models finits i complexitat descriptiva.
Projectes vigents finançats: FORMALISMS, Mètodes formals i algorismes per al disseny de sistemes (MICINN).
f) Grup de Recerca en Intel·ligència Artificial
Amb seu al Departament de Tecnologies de la Informació i les Comunicacions de la UPF, compta amb dos investigadors en les àrees de Complexitat Computacional i de Lògica en les Ciències de la Computació.
