6.11.
La recerca en teoria de nombres a Catalunya
DOI 10.2436/15.2000.07.11
Jordi Quer Bosor
Segons Karl Friedrich Gauss, sovint conegut com el Princeps Mathematicorum, la matemàtica és la reina de les ciències i la teoria de nombres és la reina de les matemàtiques. Atesa la simplicitat dels enunciats de molts dels seus problemes i la dificultat i la profunditat de les eines i les tècniques que s’han desenvolupat al llarg de molts segles per a resoldre’ls, la teoria de nombres provoca una fascinació intensa a tots els que se senten atrets per les matemàtiques, especialment als joves, i és en molts casos l’espurna inicial que motiva una futura carrera investigadora.
Els inicis d’aquesta teoria es troben en les civilitzacions grega, índia i islàmica, però el gran impuls que conforma la teoria de nombres moderna té lloc a l’Europa dels segles xviii i xix amb Euler, Lagrange, Legendre, Gauss, Dirichlet, Jacobi, Eisenstein, Kummer i Kronecker, per citar només un quants noms indiscutibles entre els matemàtics que hi contribuïren de manera destacada. Durant el segle xx, la teoria de nombres ha evolucionat espectacularment amb nous problemes i noves eines provinents de l’àlgebra, l’anàlisi, la geometria algebraica i la topologia. Actualment s’acostuma a emprar el terme geometria aritmètica per a referir-se a l’estudi de les equacions diofàntiques que fa servir no només les tècniques clàssiques de la teoria algebraica de nombres, sinó també tota la potència del llenguatge modern de la geometria algebraica.
El fet més important que ha sacsejat la comunitat dels teoristes de nombres de les darreres dècades ha estat la demostració de l’últim teorema de Fermat, que va ser finalment obtinguda per Andrew Wiles l’any 1994, després de tres segles i mig d’esforços de molts dels matemàtics més prestigiosos de les generacions respectives. La via d’atac que conduí finalment a la resolució d’aquest problema mític va ser la modularitat de les corbes el·líptiques. Com a conseqüència, les formes modulars, les corbes modulars i les varietats de Shimura, les funcions L, les representacions de Galois, les representacions automorfes, així com les múltiples relacions establertes o conjecturades entre aquests objectes aritmètico-geomètrics han adquirit un protagonisme destacat en la investigació més capdavantera.
Si es pregunta a un expert quins són els problemes oberts que més influeixen actualment en les investigacions en teoria de nombres, n’hi ha almenys tres que de ben segur sortiran en la resposta: la hipòtesi de Riemann, la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer i el programa de Langlands. El primer, el més antic i famós de tots tres, continua sent un repte quan s’acaben de complir els cent cinquanta anys de la comunicació de Bernhard Riemann a l’Acadèmia de Ciències de Berlín, on va ser plantejat. Després dels anys daurats que va viure la teoria analítica de nombres a final del segle xix i a principi del xx (von Mangoldt, Hadamard, de la Vallée-Poussin, Hardy, Littlewood), es fa difícil citar progressos significatius en les darreres dècades.
Bryan Birch i Peter Swinnerton-Dyer eren dos joves matemàtics britànics que van trobar feina al Laboratori de Càlcul de la University of Cambridge als anys seixanta. Ho aprofitaren per generar una quantitat ingent de dades sobre l’aritmètica dels objectes matemàtics que els interessaven: les corbes el·líptiques. Les pautes i les coincidències que van descobrir els van dur a formular la seva conjectura, que relaciona els invariants aritmètics de la corba amb el comportament de la seva funció L en el punt 1. Aquesta conjectura inaugura de manera espectacular la llista dels descobriments matemàtics per als quals els computadors han estat indispensables, alhora que és un exemple paradigmàtic del que tantes vegades passa en geometria, aritmètica i àlgebra: la funció L d’un objecte acaba proporcionant informació sobre moltes de les seves característiques i propietats que no se sap obtenir o calcular per altres mitjans. L’activitat de recerca relacionada amb aquest problema ha estat molt intensa des que es va formular. El primer resultat important és en la tesi doctoral d’Andrew Wiles, dirigida per John Coates. Una representació selecta d‘altres matemàtics que han fet aportacions rellevants podria ser la següent: Bertolini, Darmon, Gross, Kolyvagin, Mazur, Ribet, Rubin, Stein, Ulmer i Zagier. Tot i que la resolució completa és segurament encara molt llunyana en el temps, és un dels principals esperons de la recerca actual en geometria aritmètica.
Les conjectures de Langlands, que es presenten de vegades com a generalitzacions no abelianes de les lleis de reciprocitat d’Artin, demanen establir una correspondència entre representacions de Galois i formes o representacions automorfes per mitjà de les funcions L respectives. Actualment és també un camp molt actiu de recerca, que involucra especialistes en teoria de nombres, geometria aritmètica i teoria de representacions. Possiblement el pas endavant més espectacular fou el resultat de Laurent Lafforgue que resol el cas local, pel qual l’autor va rebre la medalla Fields l’any 2002, deixant de banda, és clar, el teorema de modularitat de Wiles.
La teoria de nombres sempre havia estat considerada inútil des del punt de vista de les aplicacions pràctiques fins que se’n va descobrir l’aplicació a la criptografia de clau pública. Fins ara els únics sistemes de clau pública proposats que els experts consideren alhora eficients i segurs, i que consegüentment són els que es fan servir a la pràctica, estan basats en dos problemes aritmètics: la descomposició en primers i el logaritme discret. Tot i que la major part de les aplicacions encara fan servir RSA, des de fa alguns anys, els principals organismes que defineixen els estàndards del ram recomanen utilitzar únicament sistemes basats en el logaritme discret sobre corbes el·líptiques. Actualment, les aplicacions criptogràfiques són un nou camp de recerca que aplega matemàtics i especialistes en ciències de la computació i en tecnologies de la informació i les comunicacions, on la teoria de nombres i la geometria aritmètica tenen un paper destacat.
Teoria de nombres a Catalunya: l’STNB
La teoria de nombres arriba a Catalunya amb Pilar Bayer, que comença a fer recerca i a formar estudiants en teoria de nombres a final de la dècada dels setanta. L’any 1985 té lloc a la UB la primera edició del Seminari de Teoria de Nombres de Barcelona (STNB), dedicada a estudiar la demostració de Faltings de la conjectura de Mordell. Aquest seminari, en què participen els investigadors catalans de la disciplina, esdevé immediatament l’instrument principal de formació, cohesió i captació de nous membres d’un gran col·lectiu d’estudiants i investigadors en teoria de nombres que amb els anys ha anat creixent al seu voltant i que ha adoptat el nom del Seminari com a d’identificador. Quant al format, el Seminari ha tingut dues fases: les dotze primeres edicions consistiren en dues sessions setmanals al llarg del període lectiu del curs acadèmic, i a partir del curs 1997-1998 es va optar per un model intensiu concentrat en una setmana, dut a terme durant l’interval sense classes entre quadrimestres.
En els inicis, els membres de l’STNB eren gairebé tots professors i doctorands de la UB i de la UAB. Durant les dècades dels vuitanta i noranta, els departaments de matemàtiques vinculats a estudis d’enginyeria experimenten un creixement espectacular, relacionat sobretot amb l’increment d’estudiants amb títols d’informàtica i de telecomunicacions. Aquesta circumstància ha donat oportunitats per a accedir a la carrera acadèmica universitària a molts joves matemàtics que s’han doctorat en teoria de nombres per la Universitat de Barcelona i la Universitat Autònoma de Barcelona. Si a això se li afegeix la creació, l’any 93, de la Facultat de Matemàtiques i Estadística a la Universitat Politècnica de Catalunya, el resultat és que l’STNB ha crescut notablement en aquesta universitat. Actualment, en la tercera dècada d’existència, el Seminari de Teoria de Nombres de Barcelona (UB-UAB-UPC) aplega grups de recerca de tres universitats i està format per una vintena de professors doctors permanents, una dotzena d’estudiants de doctorat amb beca o contracte i alguns investigadors visitants en estades postdoctorals o sabàtiques. A banda del grup descrit, hi ha altres investigadors catalans que treballen en problemes que tenen un component en aritmètica, tot i que probablement se senten molt més representats per noms genèrics, com àlgebra, geometria algebraica, matemàtica discreta o criptografia, que no pas amb el de teoria de nombres.
La investigació en teoria de nombres a Catalunya sorgeix gràcies a la formació duta a terme a l’estranger i en un ambient de contacte i col·laboració amb investigadors de prestigi d’arreu del món. En els anys inicials destaquen estades de formació i recerca a Alemanya i la relació amb Neukirch, Serre i Frey. Aquesta necessitat i voluntat d’obrir-se cap a l’exterior ha estat des d’aleshores una constant: pràcticament tots els investigadors de l’STNB han fet estades de recerca a l’estranger en règim postdoctoral o sabàtic: Bonn, Essen, Oberwolfach, Krakow, Besançon, Bordeaux, Roma, Berkeley, Columbia, Harvard, Princeton, McGill, Tokio. Gràcies als contactes establerts en aquestes estades, la invitació a seminaris locals d’investigadors d’arreu del món, i al fet que els joves que s’incorporen darrerament han gaudit d’oportunitats d’assistir a cursos i reunions internacionals des de l’inici de la seva formació, en els darrers anys s’ha experimentat un creixement notable del percentatge de recerca que es duu a terme en règim de col·laboració internacional, com es pot constatar amb una ullada a la llista de coautors: Baker, Bruin, Clark, Dimitrov, Flynn, Ghate, Howe, Iwaniec, Kontogeorgis, Longo, Manoharmayum, Ono, Poonen, Raskind, Ribet, Ritzenhaler, Seveso, Skorobogatov, Vigny, Wiese, Yafaev. En aquesta tendència d’internacionalització una novetat recent és que molts estudiants vinculats l’STNB en les seves etapes de formació de grau, màster o fase docent del doctorat han optat per fer la tesi a l’estranger, de vegades en règim de codirecció amb un investigador local. Actualment hi ha estudiants treballant amb Cremona (Warwick), Darmon (McGill), Frey (Essen), Zagier (Paris) i Zhang (Columbia).
L’STNB ha organitzat diverses activitats de recerca d’abast internacional a Catalunya. Per citar-ne només dues de representatives, l’any 1995 va organitzar la dinovena edició de les Journées Arithmétiques, la reunió periòdica internacional de més llarga tradició i abast, en què es troben investigadors de totes les branques de la teoria de nombres, que va aplegar a Barcelona uns tres-cents participants, i l’any 2002 va organitzar al Centre de Recerca Matemàtica la conferència Modular Curves and Abelian Varieties, amb un centenar de participants. També ha estat promotor i primer organitzador d’un congrés periòdic de teoria de nombres en l’àmbit espanyol: el 2005 tingué lloc la primera edició a Vilanova i la Geltrú, a la qual seguiren Madrid-07 i Salamanca-09, i ja està previst Sevilla-11.
Temes d’investigació
Durant els primers anys, i fins a final dels vuitanta, la recerca dels investigadors catalans es pot classificar en tres grans blocs temàtics: teoria algebraica de nombres, problema invers de Galois i geometria aritmètica. En tots s’ha continuat investigant i eixamplant el ventall de temes d’interès, ininterrompudament fins avui. Als anys noranta, a partir de les edicions del Seminari dedicades a estudiar treballs de Frey, Mazur, Ribet, Serre i Wiles, neix a Barcelona el gust per les corbes modulars i les formes modulars, que immediatament s’incorporen als projectes d’investigació i donen lloc a tesis doctorals i publicacions que, amb els anys, s’han convertit en un dels principals objectius de la recerca local. Un cop passada la febre modular, el tema que ha irromput amb més força durant la dècada que ara acaba han estat les corbes de Shimura: a partir de dues tesis doctorals dels anys 2000 i 2002, i gràcies novament a seminaris dedicats a estudiar aquests objectes i altres de relacionats, un grup d’investigadors de Barcelona s’han aconseguit posicionar com a principal referent en alguns dels aspectes del tema en l’àmbit internacional.
La teoria algebraica de nombres s’interessa per l’aritmètica dels cossos de nombres i les seves aplicacions a la resolució d’equacions diofàntiques. Entre els temes d’investigació amb aportacions dels matemàtics catalans hi ha els següents: teoria d’Iwasawa, funcions L de cossos de nombres i funcions L p-àdiques de Kubota-Leopoldt, aritmètica dels cossos cúbics, índex dels cossos de nombres, grups de classes d’ideals de cossos quadràtics i formes quadràtiques, representacions d’enters per formes quadràtiques ternàries, generalització dels polígons de Newton i aplicacions al càlcul de bases d’enters, extensions abelianes amb condicions de ramificació, classificació d’extensions diàdiques octaedrals, etc.
El problema invers en teoria de Galois planteja determinar quins grups finits són grup de Galois d’alguna extensió d’un cos fixat (per la importància i la dificultat, el cos dels nombres racionals és l’exemple canònic) i saber construir realitzacions galoisianes de grups donats. Els matemàtics catalans han donat diverses realitzacions polinòmiques de grups alternats i simètrics, i realitzacions modulars i geomètriques de grups lineals en dimensions 2, 3 i 4. Una variant del problema invers és l’anomenat problema d’immersió, en què el grup és donat com extensió d’un altre ja realitzat. Gràcies a diverses tesis doctorals que se n’ocupen totalment o parcialment —i també a les nombroses publicacions sobre càlcul d’obstruccions, realització de dobles recobriments, mètodes i fórmules explícites per a construir les extensions solució, aplicacions a la construcció de formes modulars de pes 1, aritmètica de les Q-corbes el·líptiques i aixecament de representacions projectives—, Barcelona s’ha convertit en un dels principals centres d’expertesa al món en el problema d’immersió galoisiana.
Pel que fa a la geometria aritmètica sobre el cos dels nombres racionals i d’altres cossos globals, s’ha investigat en càlcul de grups de Selmer i grups de Mordell-Weil de corbes el·líptiques; en reducció de twist i corbes el·líptiques amb bona reducció arreu; en classificació de les corbes de gènere 2 sobre cossos arbitraris; en teoria d’Arakelov per a corbes de gènere 3; en càlcul d’endomorfismes i construcció de famílies de superfícies abelianes amb multiplicació per ordres quadràtics i quaterniònics; en reducció i models de Néron de tors algebraics; en caràcters de Hecke i nombres de Tamagawa, etc.
Durant molts anys, les aportacions a la criptografia dels investigadors en geometria aritmètica locals es limitaren a la introducció d’assignatures sobre la matèria en bona part dels estudis d’informàtica i matemàtiques a Catalunya, sobretot quan aquesta disciplina no havia adquirit la importància actual, causada per l’ús massiu en les comunicacions digitals. En els darrers anys s’han han començat a dur a terme investigacions i a publicar resultats sobre corbes i varietats abelianes en cossos finits relacionats amb les seves aplicacions a la criptografia i als codis: algorismes per al càlcul del grup de punts racionals en corbes el·líptiques i altres varietats abelianes, classificació i recompte de classes d’isomorfisme de certes famílies de corbes, determinació i classificació de superfícies abelianes, polaritzacions, aparellaments, descens de Weil, etc.
Les corbes modulars són espais de mòduli de corbes el·líptiques amb estructures de nivell que formen part de la torsió. A Barcelona s’ha treballat en la determinació i l’obtenció d’equacions per a les corbes modulars hiperel·líptiques i biel·líptiques, el càlcul de grups d’automorfismes, els twist de certes corbes modulars, resultats de finitud i determinació completa en el cas hiperel·líptic de les corbes modulars de gènere fixat més gran que 1, etc. Amb motiu d’una estada postdoctoral d’un membre de l’STNB a Harvard, comença a Barcelona l’estudi de les Q-corbes el·líptiques i les varietats de tipus GL2, objectes en què s’ha aconseguit un domini notable amb els anys i en què investigadors locals són considerats experts en l’àmbit internacional, ja que han obtingut resultats sobre espais de mòduli de Q-corbes, parametritzacions modulars, ideal de Manin, Q-corbes com a quocients optimals de varietats GL2, elaboració de taules de Q-corbes, aplicacions a la resolució d’equacions diofàntiques de tipus Fermat, etc.
Les corbes de Shimura són espais de mòduli de superfícies abelianes amb multiplicació quaterniònica, i per tant, estudiar-les requereix dominar l’aritmètica dels ordres de les àlgebres de quaternions. Els grups de recerca de Barcelona han treballat en uniformització hiperbòlica, punts de multiplicació complexa, càlcul de grups d’automorfismes, nombres de polaritzacions en superfícies amb multiplicació quaterniònica i conseqüències sobre famílies de corbes no isomorfes amb jacobianes isomorfes, càlcul d’equacions per a casos de gènere petit, etc. Les corbes modulars i de Shimura són només el cas més simple 1-dimensional de varietat de Shimura; altres línies de recerca obertes recentment inclouen formes modulars de Hilbert, varietats abelianes de Hilbert-Blumenthal, símbols modulars sobre cossos totalment reals, etc.
Una constant en la recerca en teoria de nombres a Catalunya és el gust per la construcció explícita dels objectes abstractes amb què es treballa i la inclinació cap als resultats efectius: és costum que en les publicacions els resultats vagin acompanyats d’exemples no trivials il·lustratius de les parts més intricades de la teoria, així com d’algorismes per a poder efectuar en la pràctica càlculs efectius dels objectes i invariants de més interès. Aquests algorismes s’implementen mitjançant els sistemes de càlcul numèric i simbòlic més habituals: Magma, Pari, Sage, Mathematica, Maple, etc., dels quals pràcticament tots els membres de l’STNB són usuaris habituals i en alguns casos participen en el seu desenvolupament.
Durant aquest any acadèmic 2009-2010, té lloc al CRM el Programa de Recerca en Geometria Aritmètica, organitzat per tres membres joves de l’STNB, un de cada universitat, que comporta visites i estades de recerca de dotzenes d’investigadors d’arreu del món, així com diversos seminaris, cursos i workshops, i un congrés el juliol del 2010. En aquest programa es discuteixen les idees i les tècniques més recents per a avançar en la solució d’alguns dels grans problemes oberts de la teoria de nombres, en particular les varietats de Shimura, les funcions L clàssiques i p-àdiques, el programa de Langlands i la conjectura de Birch i Swinnerton-Dyer són alguns dels protagonistes del programa. Esperem que aquesta oportunitat d’accedir a les línies de recerca més capdavanteres i innovadores acompanyats dels grans mestres permeti als matemàtics locals, i sobretot als joves estudiants de doctorat o doctorats recents, donar un impuls important a llurs carreres investigadores i a llurs projectes de futur.
