6.9.
La recerca en probabilitat a Catalunya
DOI 10.2436/15.2000.07.9
Maria Jolis Giménez
El grup de probabilitats i les seves àrees de recerca
L’índex de classificació per temes de l’American Mathematical Society assigna el número 60 a l’àrea de probabilitat i processos estocàstics. En realitat, els processos estocàstics (o simplement processos) no són més que una subàrea de la probabilitat, que és la part de les matemàtiques dedicada a l’estudi dels fenòmens aleatoris. Concretament, els processos estocàstics són famílies de variables aleatòries indexades per un conjunt (generalment infinit) de paràmetres. Els conjunts més habituals de paràmetres són els nombres naturals (i llavors tenim una successió de variables aleatòries), el conjunt dels nombres reals positius (en aquest cas, el conjunt de paràmetres s’interpreta com el temps, i el procés estocàstic modela situacions aleatòries que evolucionen al llarg del temps) i subconjunts de l’espai euclidià n-dimensional (i llavors moltes vegades es parla de camps aleatoris). Per la seva importància, els processos estocàstics constitueixen actualment el tema principal de recerca en probabilitats.
Podem dir que la recerca en probabilitats a Catalunya va començar cap a final dels anys setanta del segle passat, tot i que un professor de la Universitat de Barcelona va publicar dos articles a Collectanea Mathematica a final dels anys cinquanta. És a final dels anys setanta quan s’inicia la recerca d’un grup d’investigadors del qual formen o han format part més de vint-i-cinc doctors i que compta ara amb sis estudiants de doctorat. Si algú busca en la base de dades de MathSciNet els articles que tenen per classificació primària el número 60, troba treballs de persones que tenen per àmbit de recerca principal altres àrees de la matemàtica (amb forts lligams amb la probabilitat) com l’estadística, l’anàlisi, la investigació operativa, les ciències de la computació..., a més de la física teòrica. Tot i això, podem dir que a Catalunya hi ha un sol grup de probabilitats del qual formen part principalment professors de la Universitat de Barcelona i de la Universitat Autònoma de Barcelona, i en menor nombre, de la Universitat Pompeu Fabra.
L’interès principal del Grup de Recerca en Probabilitat de Barcelona, és l’anàlisi estocàstica; és a dir, l’estudi dels processos estocàstics i de les eines analítiques relacionades que s’usen per a estudiar sistemes que, a causa de pertorbacions aleatòries o d’una aleatorietat intrínseca, la seva evolució presenta un comportament no regular des del punt de vista de l’anàlisi (trajectòries no diferenciables en gairebé tots els punts o fins i tot de variació no fitada en qualsevol interval).
Alguns dels temes principals dins l’anàlisi estocàstica són:
— L’estudi de les propietats analítiques de les trajectòries dels processos estocàstics.
— La construcció d’integrals estocàstiques, és a dir, d’integrals respecte de processos amb trajectòries no regulars (important per a construir els models matemàtics donats per equacions diferencials ordinàries o en derivades parcials amb pertorbacions aleatòries) i l’estudi de les propietats d’aquest tipus d’integrals; en particular, l’obtenció de les anomenades fórmules d’Itô (K. Itô va obtenir la primera fórmula d’aquest tipus per a la integral respecte del moviment brownià) que és l’anàleg estocàstic del teorema del canvi de variables.
— Estudi de les equacions diferencials estocàstiques ordinàries o en derivades parcials. Els probabilistes han arribat a l’estudi d’aquest tipus d’equacions motivats per problemes provinents de la física, l’enginyeria, la biologia, la química, etc. Una equació diferencial ordinària o en derivades parcials estocàstica és una equació ordinària o en derivades parcials que conté un terme aleatori (soroll). El seu estudi combina les tècniques probabilístiques amb les tècniques analítiques de les equacions deterministes. Els problemes principals en aquest àmbit són, en primer lloc, donar un sentit a les solucions (això es fa normalment interpretant les equacions en termes d’equacions integrals on apareixen les integrals estocàstiques, a les quals també cal donar un sentit); i, en segon lloc, provar l’existència i la unicitat de solucions, les propietats de les solucions, l’estabilitat, el comportament límit, les aproximacions numèriques.... Dins les propietats de les solucions són interessants sobretot les propietats analítiques de les trajectòries i les propietats de les lleis de les variables aleatòries dels processos solució com, per exemple, l’existència d’una densitat.
El nostre grup es pot dir que té aportacions en gairebé tots els temes que hem esmentat abans. En els primers anys de recorregut, es va treballar en la construcció del càlcul estocàstic respecte de processos (martingales) amb paràmetre dos-dimensional, que presenta unes característiques certament més complexes que el cas de paràmetre unidimensional. Ja en aquesta època inicial, es van obtenir resultats de primer nivell. A mitjan dels anys vuitanta, es va començar a treballar en el tema en què hem contribuït més decisivament, l’anomenat càlcul de Malliavin. Aquest càlcul és un càlcul diferencial en dimensió infinita en l’espai de Wiener. Va ser introduït per Paul Malliavin en un treball del 1976 amb l’objectiu d’entendre millor la interacció entre problemes deterministes i probabilístics en l’anàlisi i la geometria diferencial. La primera aplicació del càlcul de Malliavin va ser l’obtenció d’un criteri per a decidir si la llei d’un vector aleatori té densitat o no (respecte de la mesura de Lebesgue) i si aquesta densitat és una funció diferenciable. Si s’aplica aquest resultat als processos de difusió, es pot assegurar hipoel·lipticitat per a una certa classe d’operadors diferencials. Els primers treballs del grup en aquest tema foren la construcció d’un càlcul de Malliavin per a processos amb paràmetre bidimensional.
Les tècniques del càlcul de Malliavin permeten aplicacions en moltes àrees de l’anàlisi estocàstica en què s’ha treballat i de les quals parlarem al llarg d’aquest report. Potser una de les més importants ha estat l’origen del desenvolupament d’un càlcul estocàstic anticipatiu. El càlcul estocàstic clàssic (també anomenat d’Itô) permet integrar processos «adaptats» o «no anticipatius» respecte a semimartingales. Intuïtivament, un procés és adaptat respecte a un altre procés estocàstic si, per conèixer el primer procés en un cert instant, no necessitem tenir cap informació del comportament del segon en el futur. I un procés serà anticipatiu si no es compleix aquesta condició.
A part de l’interès matemàtic d’eliminar la hipòtesi d’adaptabilitat dels integrants en el càlcul d’Itô, la construcció d’un càlcul estocàstic anticipatiu té també importants motivacions en aplicacions com, per exemple, sistemes diferencials estocàstics amb una condició inicial anticipativa o amb condicions a la frontera. Les contribucions del grup de Barcelona, en col·laboració amb altres professors estrangers (principalment É. Pardoux, de Marsella, i M. Zakai, d’Haifa), han estat fonamentals en el desenvolupament d’aquesta branca de l’anàlisi estocàstica.
Cap a final dels vuitanta, comença l’interès dels membres del grup (principalment, de la Universitat de Barcelona) en les equacions en derivades parcials estocàstiques. En aquest àmbit, s’han fet aportacions importants als problemes esmentats anteriorment: la interpretació adequada de les equacions i de les integrals estocàstiques associades, els teoremes d’existència i d’unicitat, estudi de la regularitat de les solucions i de la seva llei (com l’aplicació del càlcul de Malliavin per a provar l’existència de la densitat i la diferenciabilitat), les aproximacions numèriques, etc.
Un tema més recent de recerca (a partir del 2000) és la construcció d’un càlcul estocàstic respecte del moviment brownià fraccionari i d’altres processos gaussians similars que no són semimartingales i, per tant, no se’ls pot aplicar el càlcul estocàstic d’Itô. El càlcul de Malliavin, tot i que es desenvolupa inicialment per al moviment brownià ordinari (o procés de Wiener), és vàlid també per a processos gaussians arbitraris; i, en certes condicions, sobre la funció de covariància del procés, es pot desenvolupar un càlcul estocàstic en què encara queden molts problemes oberts.
Aproximadament, al mateix temps de l’inici de la recerca sobre el moviment brownià fraccionari, part del grup va començar a treballar en l’estudi dels processos de Lévy. Aquests processos són processos amb increments independents i estacionaris. L’estructura bàsica d’aquests processos va ser estudiada, al llarg dels anys trenta i quaranta, principalment pels grans probabilistes P. Lévy, A. Ia. Khintxin i K. Itô. En els últims quinze anys s’ha produït un interès renovat en aquests processos, a causa tant de nous desenvolupaments teòrics com de l’abundància d’aplicacions pràctiques, com ara la matemàtica financera. Els exemples principals de processos de Lévy són el moviment brownià i el procés de Poisson. Ara bé, tret d’aquests dos processos canònics ben coneguts, els processos de Lévy generals són els processos més simples, les trajectòries dels quals consisteixen en la superposició d’una funció contínua i discontinuïtats de salt de mida aleatòria, que apareixen en instants aleatoris. Són un model natural de soroll que es pot usar per a construir integrals estocàstiques i per a dirigir equacions diferencials estocàstiques.
Un altre dels temes de recerca el constitueix la matemàtica financera, una de les disciplines en la qual l’anàlisi estocàstica ha trobat més aplicacions en els darrers anys. L’última gran revolució en la matemàtica financera va néixer dels articles de F. Black i M. Scholes juntament amb contribucions fonamentals de R. C. Merton (per aquests treballs, M. Scholes i R. C. Merton van rebre el Premi Nobel d’Economia el 1997; Black havia mort el 1995). Els primers models creats per aquests autors van ser empleats per a estimar el valor avuid’una opció europea per a la compra o venda d’accions en un moment del futur. Més endavant es van desenvolupar altres models per a la valoració d’aquest i d’altres productes financers, en què l’anàlisi estocàstica continuava sent l’eina fonamental d’estudi.
Un problema clàssic de la teoria de la probabilitat en què es treballa és el de la convergència en llei en espais de dimensió infinita, principalment l’espai de les funcions contínues i l’espai de les funcions amb discontinuïtats de primera espècie. Quan tenim, per exemple, un procés estocàstic amb trajectòries contínues, podem pensar que en realitat tenim una variable aleatòria que pren valors en l’espai de les funcions contínues. Llavors es pot parlar de la llei d’un procés estocàstic en aquest espai i definir la convergència de les lleis d’una família de processos estocàstics. Són resultats clàssics d’aquesta teoria la distribució límit de l’estadístic de Kolmogorov de les proves de bondat d’ajustament i els resultats d’aproximació de la llei de certes cadenes de Markov per la llei de processos de difusió. L’interès del nostre grup ha estat l’estudi de la convergència en llei de famílies de processos en què el límit és un objecte clàssic del càlcul estocàstic, principalment funcionals del procés de Wiener o el moviment brownià fraccionari.
Finalment, un altre tema en què treballen alguns membres del grup des de fa uns set anys és l’estudi matemàtic dels anomenats cristalls de spin. Els models de cristalls de spin van ser tractats inicialment per la física teòrica dins de la mecànica estadística de sistemes desordenats. L’estudi com a objectes matemàtics és més recent i ha experimentat un gran creixement a partir de mitjan dels anys noranta. Els problemes matemàtics es presenten dins de la teoria de les probabilitats, més concretament, en la teoria de processos estocàstics amb dimensió gran.
Producció científica del grup
La base de dades MathSciNet (amb data 12 de gener de 2010) mostrava un total de 349 articles signats per membres del grup de probabilitats de Barcelona (mentre n’han estat membres). D’aquests articles cal destacar que un bon nombre són en les dues revistes d’excel·lència de l’àrea: The Annals of Probability (AP) i Probability Theory and Related Fields (PTRF): Concretament hi ha vint-i-quatre publicacions en AP i un total de dinou a PTRF. La major part de les altres publicacions són en revistes de prestigi dins l’àrea, com Stochastic Processes and their Applications, Annales de l’Institut Henri Poincaré (Probabilités et Statistique) o Bernoulli, i també en publicacions de l’àrea d’anàlisi com Journal of Functional Analysis, entre altres.
Un indicador complementari al nombre de publicacions i a la qualitat és la pertinença a comitès editorials de les revistes importants de l’àrea. Alguns membres del nostre grup són o han estat editors associats d’una vintena de revistes, entre les quals tenim The Annals of Probability, Probability Theory and Related Fields, Stochastic Processes and their Applications i Bernoulli.
A part de l’activitat que mostren aquestes publicacions i la participació en comitès editorials, el grup manté un seminari de periodicitat setmanal i ha participat mitjançant algun dels seus membres en l’organització d’un nombre important de reunions científiques de caràcter internacional. Entre les que s’han dut a terme a Barcelona cal destacar la celebració l’any 1991 del prestigiós Séminaire de Probabilités, en la vint-i-tresena edició, a més del Semester on Stochastic Analysis, del Centre de Recerca Matemàtica (setembre de 1991 - febrer de 1992); el Barcelona Seminar on Stochastic Analysis (Sant Feliu de Guíxols, setembre de 1991); la Barcelona Conference on Stochastic Analysis and its Applications (UB, juliol de 1997); els Advanced Courses on Stochastic Analysis (CRM, setembre de 1997); la Summer School on Stochastics and Finance (UB, setembre de 2001), la Barcelona Conference on Stochastic Inequalities and their Applications (CRM, juny de 2002), i el 6th World Congress of the BernoulliSociety for Mathematical Statistics and Probability (UB, juliol 2004).
Col·laboració amb altres investigadors i grups de recerca
Els membres del grup de probabilitats de Barcelona col·laboren habitualment amb investigadors d’altres universitats. De fet, el nombre de coautors (de molt diverses nacionalitats) de les seves publicacions supera els noranta. Ja hem comentat abans la relació amb els professors É. Pardoux, de Marsella, i de M. Zakai, d’Haifa, que va ser fonamental en el desenvolupament del càlcul estocàstic anticipatiu i amb els quals s’ha treballat també en l’àmbit del càlcul de Malliavin en general i de les equacions diferencials estocàstiques en derivades parcials. En aquest context, cal afegir la col·laboració amb el mateix P. Malliavin.
Fruit d’aquestes relacions, entre els anys 1996 i 2001, la Universitat de Barcelona va ser un node de la European Network on Stochastic Analysis, del programa Human Capital and Mobility, de la Comissió Europea.
D’altra banda, es mantenen relacions continuades principalment amb investigadors de les universitats de Paris I, Paris VI, Nancy I, Padova, Cadi Ayyad de Marràqueix; de l’Ecole Polytechnique Fédéral de Lausanne, i del CINVESTAV de Mèxic. Algunes d’aquestes relacions tenen l’origen en el fet que diversos investigadors estrangers van realitzar la tesi doctoral a Barcelona i alguns d’ells mantenen actualment una activitat en recerca força destacada.
