6.12.
La recerca en topologia a Catalunya
DOI 10.2436/15.2000.07.12
Carles Casacuberta Vergés
Especialitats de la topologia
Com la major part d’àrees científiques, la topologia admet adjectius que en defineixen subàrees: topologia algebraica, topologia diferencial, topologia general, topologia geomètrica, i altres d’ús menys freqüent. El terme teoria d’homotopia és considerat per molts com un sinònim de topologia algebraica, tot i que avui en dia la teoria d’homotopia és més aviat una especialitat transversal a la topologia, l’àlgebra, la geometria i la teoria de categories.
Dins la topologia algebraica se sol fer una distinció entre homotopia estable i homotopia inestable. L’homotopia inestable estudia els espais topològics, llevat d'equivalència homotòpica, i té lligams profunds amb la teoria de grups i amb l’àlgebra homològica, mentre que l’homotopia estable estudia els espectres i es relaciona molt amb la teoria d’anells i mòduls, particularment després del descobriment de les categories de models monoidals estables a la dècada del 1990. La topologia general també té subespecialitats, com les que s’orienten a l’estudi dels grups topològics, a certs aspectes de la teoria de conjunts o a la lògica difusa. El terme topologia geomètrica equival a topologia de varietats, i dins d’aquest camp convé distingir entre l’estudi de les varietats topològiques, molt relacionat amb la geometria diferencial, i l’estudi de les varietats algebraiques, lligat a la geometria algebraica. Cal afegir-hi la topologia simplèctica, originada al voltant de la mecànica hamiltoniana, i la dinàmica topològica, vinculada a l’estudi qualitatiu dels sistemes dinàmics.
Existeixen neologismes per a temes recents situats a la frontera d’especialitats més tradicionals de la topologia i que han estat motivats per avenços de la física matemàtica, com la topologia de cordes, que estudia certs tipus de varietats de dimensió infinita (varietats de llaços), i les teories quàntiques de camps topològiques, en què s’utilitzen eines de teoria de categories i de topologia geomètrica. En aquest intent de dibuixar l’arbre de la topologia, encara hi manquen branques que no duen el nom de topologia, però que hi tenen molt a veure, com l’anàlisi global en varietats, la teoria geomètrica de grups o algunes parts de la matemàtica discreta.
Podem afirmar amb satisfacció que a Catalunya es fa recerca en totes aquestes especialitats i subespecialitats de la topologia. En moltes d’elles els equips de recerca catalans tenen prestigi internacional reconegut i, fins i tot, en alguns casos són o han estat capdavanters.
Inicis dels equips a Catalunya
Els inicis de la topologia com a disciplina pròpia van tenir com a grans noms Henri Poincaré (1854-1912) a França, Solomon Lefschetz (1884-1972) i James W. Alexander (1888-1971) als Estats Units, Heinz Hopf (1894-1971) a Suïssa, Pavel Alexandrov (1896-1982) a Rússia i Herbert Seifert (1907-1996) a Alemanya, entre molts d’altres. A Catalunya, la docència de la topologia va començar a la dècada del 1960 amb Josep Teixidor i Batlle (1920-1989), que havia tingut contactes amb Beno Eckmann a l’Escola Politècnica Federal (ETH) de Zuric i va propiciar que Manuel Castellet i Solanas (1943) portés a Barcelona els temes de recerca d’Eckmann i Hilton al principi dels anys setanta i creés un equip de recerca en topologia algebraica a la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB), que ha anat creixent des d’aleshores. Actualment, té una vintena llarga de membres a la UAB, a la Universitat de Barcelona (UB) i a diverses universitats de l’Estat. Aquest equip va rebre la distinció Marie Curie Training Site de la Comissió Europea, del 2000 al 2004, vinculat al Centre de Recerca Matemàtica (CRM), i va formar part de tres xarxes europees de topologia algebraica durant els períodes 1994-1997 i 2000-2003.
En un altre àmbit, més proper a la geometria algebraica, es va crear, al començament de la dècada del 1980, un grup de recerca en topologia de les varietats algebraiques i àlgebra homotòpica, primer a la Universitat Politècnica de Catalunya (UPC) i després també a la UB, que va començar seguint camins iniciats per Grothendieck i Deligne. Una tercera via d’implantació de la topologia a Barcelona, arrelada a la UAB, s’ha centrat des de mitjan dels anys noranta en la topologia de varietats, més concretament en l’estudi i la classificació de les varietats topològiques de dimensió 3 basant-se en el programa de geometrització de Thurston. A més, hi ha un nucli de recerca a la UPC en grups topològics, també des de la dècada del 1990, així com molts investigadors catalans que treballen des de fa anys en temes relacionats amb la topologia o que la utilitzen com a eina, en teoria geomètrica de grups, teoria de categories, topologia simplèctica, teoria de grafs i sistemes dinàmics.
Grups consolidats
Des del 2009 hi ha dos grups de recerca consolidats de la Generalitat de Catalunya que tenen la topologia com a línia principal o molt destacada: el 2009 SGR 119 i el 2009 SGR 1092. En aquest apartat es descriuen alguns dels temes de recerca d’aquests grups i alguns resultats d’especial rellevància, amb el benentès que les fites assolides per altres grups de recerca catalans en temes relacionats amb la topologia es recullen en altres parts d’aquest llibre blanc.
Els grups consolidats esmentats treballen principalment en les direccions següents:
- Propietats homotòpiques dels grups de Lie
- Cohomologia d’espais classificadors de grups
- Estructura local dels grups finits
- Localització homotòpica
- Models per a teories d’homotopia
- Homotopia d’ordre superior
- Categories triangulades i de descens
- Teoria K algebraica
Un grup de Lie és una varietat diferenciable amb una estructura compatible de grup topològic. La cohomologia dels grups de Lie i dels seus espais classificadors va ser un tema d’estudi clàssic a mitjan segle passat. Es va observar que moltes propietats topològiques dels grups de Lie compactes no depenien de la seva estructura geomètrica, sinó només de característiques homotòpiques subjacents que també són presents en altres espais, possiblement després de localitzar-los o completar-los en nombres primers. Aquesta constatació va originar l’estudi dels espais de llaços finits i més tard dels anomenats grups p‑compactes (Dwyer, Notbohm, Wilkerson, etc.). Molts grups p‑compactes són complecions d’espais classificadors de grups de Lie compactes, però d’altres no ho són. Els topòlegs catalans han publicat molts articles en aquesta línia i n’han estat capdavanters. La classificació dels grups p‑compactes va quedar acabada en un article publicat a la revista Annals of Mathematics l’any 2008 per un grup d’investigadors, un dels quals s’havia doctorat a la UAB l’any 1996. En aquest article es va demostrar que hi ha una correspondència bijectiva entre els grups p‑compactes connexos i els grups finits de reflexions sobre els enters p‑àdics.
La cohomologia dels espais ha estat un tema molt estudiat a Barcelona des del 1980. S’ha discutit sobretot la realitzabilitat d’àlgebres com a cohomologies d’espais, i també les propietats dels espais que queden determinades per la seva àlgebra de cohomologia. Se sap, des de fa molts anys, que la cohomologia dels espais classificadors de grups finits mòdul un primer p depèn, essencialment, només del reticle de p‑subgrups juntament amb l’efecte de la conjugació dins de cada grup. En la dècada del 1990 es va anar més enllà i es va demostrar que el tipus d’homotopia de la compleció en un primer p de l’espai classificador d’un grup finit també es pot reconstruir a partir dels p‑subgrups amb eines de teoria de categories. La informació que permet reconstruir aquestes complecions es va formalitzar en el concepte de sistemes de fusió, que ha estat àmpliament estudiat en anys recents, a Barcelona i a molts altres llocs del món, principalment a Aberdeen i París, per les seves implicacions en l’estudi dels grups finits i en teoria de representacions. Els articles que van obrir aquesta línia de recerca es van publicar a les revistes Inventiones Mathematicae i Journal of the American Mathematical Society l’any 2003, amb un coautor de la UAB.
La localització i la compleció en nombres primers és només un cas particular de localitzacions i complecions homotòpiques, un camp en què els topòlegs catalans treballen des de la dècada del 1980 i on han estat reconeguts com a especialistes d’alt nivell. Un dels articles de més impacte en aquesta direcció es va publicar el 2005 a Advances in Mathematics. En aquest article es va demostrar que una pregunta formulada per Farjoun al principi de la dècada del 1990 (si tota construcció homotòpica idempotent és una localització respecte a algun conjunt d’aplicacions) és indecidible amb els axiomes ordinaris de la teoria de conjunts. Els resultats de l’article també impliquen que l’existència de les localitzacions cohomològiques, un problema obert famós, es dedueix d’un principi de grans cardinals (el principi de Vopěnka). Aquest fet ha obert una línia de col·laboració de la teoria d’homotopia amb la teoria de conjunts, iniciada a Barcelona, que s’està mostrant molt fructífera.
La recerca en teoria d’homotopia estable va començar cap al 1995 a Barcelona, per primer cop a l’Estat, motivada per problemes de conservació d’estructures homotòpiques en espais i espectres sota l’efecte de les localitzacions. En el seu context més general, les localitzacions s’emmarquen en la teoria de les categories de models (en el sentit de Quillen). Els objectes d’una categoria de models són de caire combinatori o bé algebraic, com els conjunts simplicials o els complexos de cadenes, i entre els seus morfismes hi ha definida una noció d’homotopia. Aquestes categories són eines bàsiques per a molts propòsits de la topologia algebraica i de la geometria algebraica, tot i que en alguns contextos s’ha vist que és més convenient adoptar altres marcs formals, com les categories de Cartan-Eilenberg, un concepte introduït per matemàtics catalans el 2007.
El formalisme de les categories triangulades es va iniciar amb Grothendieck i Verdier a mitjan segle passat i ha ressorgit amb força en els darrers deu o quinze anys gràcies als treballs de Keller, Neeman i altres, i també a les importants aplicacions a la geometria algebraica, la teoria de representacions i la física matemàtica. Per exemple, la descripció homològica de Kontsevich del fenomen de la simetria especular es pot formular com una equivalència entre categories triangulades. A Catalunya hi treballen diverses persones i s’han aconseguit resultats destacats, com el primer exemple d’una categoria triangulada que no admet models, publicat a Inventiones Mathematicae l’any 2007. També s’ha trobat un exemple d’una categoria triangulada en què no val el teorema de representabilitat de Brown, i s’ha escrit una tesi doctoral sobre extensions transfinites del teorema de representabilitat d’Adams.
Tanmateix, se sap que el llenguatge de les categories triangulades no és òptim i per això s’han proposat alternatives, com diversos tipus de categories triangulades enriquides o bé les anomenades categories de descens cohomològic, dissenyades per a l’estudi de les varietats algebraiques amb singularitats, que han estat fruit del treball de matemàtics catalans de la UB i la UPC. La teoria K algebraica és un altre camp en què s’utilitzen eines de categories triangulades i models algebraics adients, que han permès a investigadors catalans resoldre una conjectura de Maltsiniotis el 2007 i obrir noves línies de recerca relacionades amb la geometria aritmètica.
L’homotopia d’ordre superior es refereix a les homotopies entre homotopies, homotopies entre aquestes, i així successivament. Aquest concepte el va formalitzar May a la dècada del 1970 amb el nom d’opèrades (operads), motivat per l’estudi dels espais de llaços iterats. Recentment, l’ús d’opèrades s’ha estès molt, a causa de la utilitat que té en geometria i física matemàtica, sovint en combinació amb l’ús de categories triangulades. A Catalunya s’han obtingut resultats rellevants referents a opèrades, tant en l’àmbit de la topologia com de la geometria. Destaca la demostració de la formalitat de l’opèrada de cadenes singulars amb coeficients racionals en espais de mòduli de corbes, publicada en un article a Duke Mathematical Journal el 2005, a més d’una demostració que les localitzacions homotòpiques conserven àlgebres sobre opèrades sota hipòtesis molt generals, que apareixerà a Proceedings of the London Mathematical Society el 2010, i també la resolució d’una conjectura de Lian i Zuckerman sobre l’existència d’estructures de Gerstenhaber homotòpiques en àlgebres de vèrtexs l’any 2008.
L’estudi de les teories quàntiques de camps topològiques combina mètodes d’homotopia d’ordre superior amb tècniques de topologia geomètrica i de teoria de categories. Per exemple, Dijkgraaf va demostrar, el 1989, que la categoria de teories quàntiques de camps topològiques de dimensió 2 és equivalent a la categoria d’àlgebres de Frobenius commutatives. A Catalunya es treballa en aquesta especialitat des de fa pocs anys, gràcies a la incorporació d’experts d’altres països i a l’organització de cursos avançats i seminaris.
Activitats
El CRM ha organitzat molts cursos avançats i congressos de topologia des que es va crear, l’any 1984; principalment, una sèrie de congressos anomenats Barcelona Conference on Algebraic Topology (BCAT), que es van celebrar cada quatre anys entre el 1986 i el 2002 i que van tenir un gran ressò a tot el món. El CRM també ha estat seu de programes intensius de recerca sobre temes de topologia, el darrer dels quals, dedicat a la teoria d’homotopia i les categories d’ordre superior, es va fer durant el curs 2007-2008 i va aplegar alguns dels millors especialistes mundials. La major part de cursos i congressos de topologia del CRM han originat llibres que han publicat les editorials Birkhäuser i Springer.
També s’han celebrat diversos congressos de topologia a les universitats catalanes. Els topòlegs catalans organitzen cada any, des del 2004, una jornada temàtica anomenada Barcelona Topology Workshop (BTW). A més, als departaments tenen lloc seminaris durant tot l’any, alguns de caire formatiu adreçats a estudiants de doctorat i d’altres enfocats a l’estudi de temes destacats d’actualitat en cada moment.
Des de Catalunya s’han endegat diverses iniciatives encaminades al progrés i la cohesió dels grups de recerca en topologia de tot l’Estat, com la sèrie de congressos anomenada Encuentros de Topología, que va començar a Bellaterra l’any 1993 i que s’ha mantingut anualment des d’aleshores. L’any 2003 es va crear la Red Española de Topología, que va tenir com a primera seu administrativa el CRM i va ser coordinada per topòlegs catalans en els períodes 2003-2005 i 2008-2009.
Evolució
Tot i que és molt difícil de predir l’evolució de les disciplines científiques, actualment, una tendència forta a gairebé tota la matemàtica és afavorir les relacions entre àrees diverses i promoure els temes de recerca que tinguin impacte en més d’un camp temàtic. La topologia és molt propícia a les aplicacions interdisciplinàries, ja que des dels seus inicis ha estat molt relacionada amb l’àlgebra, la geometria, els sistemes dinàmics i la física. Entre molts altres exemples, el naixement de l’àlgebra homològica, la teoria de categories o la teoria K en són fruits. A Catalunya, els equips de recerca en topologia evolucionen també cap a la diversificació dels seus objectius i segueixen la tendència general de relacionar-se amb investigadors d’altres àrees, cada cop de manera més sòlida.
Els topòlegs catalans han procurat sempre mantenir-se a la primera línia dels temes d’interès al món en el seu àmbit, i com a mínim ho han aconseguit en l’entorn europeu. Els articles que han aconseguit publicar a les millors revistes del món en recerca matemàtica ho avalen. De fet, es constata un increment de la freqüència de publicació d’articles d’alt nivell per part de topòlegs catalans: darrerament es publiquen mitja dotzena d’articles cada any, com a mínim, en revistes del primer quartil per factor d’impacte en matemàtiques. Tot fa preveure que aquesta progressió continuarà, almenys mentre els grups de recerca puguin mantenir la seva capacitat de captació de bons estudiants de doctorat i d’investigadors postdoctorals al mateix ritme que fins ara.
